第二十讲 应用问题的算术解法与代数解法.doc

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1、第二十讲应用问题的算术解法与代数解法从小学到中学,数学课程最显著的变化,就是从算术学习到代数和几何的学习.仅就代数来说,它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题.从发展的角度看,代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的.首先扩大了数的范围,从正整数、正分数和零发展到有理数、实数;其次,在用字母表示数的基础上,应用“运算律”解代数方程和研究代数式.由于在常见的数量关系中,可以说应用问题是最基本的讨论对象,因此,在小学和中学的数学课中,都有解应用问题这一内容.只不过在小学是用“算术解法”,而在中学是用“代数解法”.下面举几个典型实例

2、,来比较一下这两种解法的不同,从而进一步体会代数解法的优越性.例1某农场计划播种小麦与大豆共138公顷,种小麦的面积是种大豆面积的4倍.试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷?算术解法由本题所给的条件可知,播种总面积等于种大豆面积的(4+1)倍,因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1),种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数,即138÷(4+1)=27.6(公顷),138-27.6=110.4(公顷).即应种大豆27.6公顷,小麦110.4公顷.代数解法用一个字母x表示要求的一个未知量,例如,设种大豆x公顷;再由题目的条件可知,种小麦4x公

3、顷.因此,只要根据关系式总播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数和已知条件“总公顷数为138”,就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式,也叫方程)4x+x=138.由于x是一个未知数,但它终归是一个数,所以可以对它应用运算律.为此,我们对上式做如下变形(4+1)x=138,即5x=138.两边同除以5,得x=27.6(公顷).从而4x=4×27.6=110.4(公顷).即种大豆27.6公顷,种小麦110.4公顷.比较分析本题的算术解法中,要求对题意进行思考,先求得解决问题的公式,然后再逐步地对公式中的计算找出解释的理由,从而作出解答.而代

4、数解法,只要求用字母x表示待求的未知量,再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系,然后直截了当地列出一个等式,再应用运算律(或等式的基本性质),求出这个未知数x应取的数值,使问题得到解决.例2鸡兔同笼.共有56个头,160只脚,试问鸡、兔各多少只?算术解法这是一个古老而有趣的数学问题,由于思考方法不同,可有不同的解法,以下是较为简单的解法.由于已知鸡、兔共160只脚,如果我们假定每只兔抬起2只脚,每只鸡抬起一只脚,则落地的脚是160只的一半,即80只脚.这80只脚中鸡的脚数与头数相等.因此,兔数为:80-56=24(只);鸡数为:56-24=32

5、(只).代数解法设兔为x只,则鸡为(56-x)只,兔的脚数为4x,鸡的脚数为2(56-x),又由已知条件,鸡兔一共有160只脚,可列出方程4x+2(56-x)=160.去括号4x+112-2x=160,合并同类项4x-2x=160-112,即2x=48,所以x=24(只)…兔数.从而56-24=32(只)…鸡数.比较分析本题算术解法中,根据题设特点,利用了一个特殊技巧,即鸡、免各抬起一半脚,然后依据其余脚数中,鸡的脚数与头数一一对应关系,得到解答.这种解法虽然有效,但不具有一般性,这也是算术解法的一个弱点,即一个问题一种解法,缺乏一般的通用性.而

6、代数解法则不同,在本题中,只须用一个字母x代表兔(或鸡)的数量,然后便可根据已知条件,顺理成章地找出等量关系,列出方程.下一步解方程求未知数x的值,只是进行变形和运算,不需要什么特殊技巧.因此,代数解法具有一般性,这也是它优于算术解法之所在.在前面的两例中,虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点,但对两者的联系未作进一步的探讨,下面通过例3,初步讨论一下这个问题.例3设有5元和10元的人民币共12张,共计85元,问其中5元、10元的人民币各几张?算术解法假如全部是5元的人民币,则共计5×12=60(元),与总和相差85-60=25(元)

7、.现在让我们逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子,使得总张数保持不变,每换一次,总值将增加10-5=5(元).那么换几次才能补足总差额25元呢?这只要做一次除法就行了,即25÷5=5.所以答案是10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5)①=25÷5=5.5元人民币的张数=12-5=7.代数解法设10元人民币的张数为x,则5元人民币的张数为(12-x),其中x是一个待求的未知数,在此它只是10元人民币张数的简写,利用上述未知数符号,根据10元人民币的总元数+5元人民币的总元数=85,则可写出下列方程10x+5(12-x)=85.②以下的工

8、作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程②的x值,就可得到解答了.用分配律,去掉②中之括号,得10x+5×12-5x=85,由交换律、

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