高三数学总复习 第8讲 函数与方程学案 新人教A版.doc

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1、山东省沂水县第一中学2014届高三数学总复习第8讲函数与方程学案新人教A版【2014年高考会这样考】1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用．基础梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)

2、，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布根的分布(m＜n＜p为常数)图象满足条件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜

3、m＜x2f(m)＜0m＜x1＜x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p只有一根在(m，n)之间或f(m)·f(n)＜03.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函

4、数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若

5、a－b

6、＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值

7、符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数

8、的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．双基自测1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.答案　C2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点(　　)．A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个答案　B3．如

9、图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(　　)．A．①②B．①③C．①④D．③④答案　B4．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)．A.B.C.D.解析　因为f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.答案　C5．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析　函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f

10、(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2