矩阵向量空间课件.ppt

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1、Chapter4向量空間4.1~4.51PartA4.1向量基本介紹4.2點積、範數、角度及距離4.3廣義向量空間4.4子空間4.5向量之線性組合24.1IntroductiontoVectors直角座標系統(rectangularcoordinatesystem)原點：(0,0)位置向量：起點：O終點：A(5,3)3Example1試描繪位置向量，詳圖4.2。45定義：令為一含n個實數的序列，則所有此種型式之序列組成的集合稱為n維空間，註記為Rn。在中，u1稱為其第一個元素(firstcomponen

2、t)、u2稱為其第二個元素(secondcomponent)、餘此類推。Example2R4為所有含四個實數之序列的集合，例如(1,2,3,4)及均為R4之元素。R5為所有含五個實數之序列的集合，例如，即為R5之元素。6定義：令u=(u1¸···,un)、v=(v1¸···,vn)為Rn的二個向量，若u1=v1,…,un=vn，則稱u與v相等(equal)。亦即當Rn中二向量之對應元素(correspondingcomponents)均相等時，我們稱此二向量為相等。定義：令u=(u1¸···,un)、v

3、=(v1¸···,vn)為Rn中二任意向量，而c為一純量，則向量加法及純量乘積運算定義如下：向量加法：u+v=(u1+v1,···,un+vn)純量乘積：cu=(cu1,···,cun)7Example3令u=(−1,4,3,7)、v=(−2,−3,1,0)為R4中二向量，試計算u+v及3u。SolutionExample4考量向量(4,1)與(2,3)的加法，可得(4,1)+(2,3)=(6,4)(為此平行四邊形之對角線)8一般而言，若u,v為同一向量空間中之向量，則u+v為由u,v所定義之平行四邊形

4、的對角線（如圖4.5所示），這種視覺化的向量加法適用於任何向量空間。請注意，我們將以粗體字表示向量，而以一般字體表示純量。9Example5考量向量(3,2)與2的純量乘積，可得2(3,2)=(6,4)觀察圖4.6可知，向量(6,4)與向量(3,2)同向，而其長度則為(3,2)的二倍。10純量乘積之方向11零向量所有n個元素全部為零的向量(0¸0,···,0)稱為Rn空間之零向量(zerovector)，註記為0。負向量向量(−1)u，寫成−u，稱為向量u的負向量(negativevector)，代表一

5、個與u大小相等、方向相反的向量。向量減法Rn空間之向量減法運算係由兩向量對應元素逐項相減而成，例如在R3中，(5,3,−6)−(2,1,3)=(3,2,−9)12Theorem4.1令u,v與w分別為Rn中之向量，而c,d為純量。u+v=v+uu+(v+w)=(u+v)+wu+0=0+u=uu+(–u)=0c(u+v)=cu+cv(c+d)u=cu+duc(du)=(cd)u1u=u13Example6令u=(2,5,−3),v=(−4,1,9),w=(4,0,2)，試計算2u−3v+w。Solutio

6、nExample714行向量我們以元素逐項處理的方式，定義Rn中行向量的向量加法與純量乘積。例如在R2中，及及154.2點積、範數、角度及距離定義：令u=(u1,···,un),v=(v1,···,vn)為Rn中二任意向量，則向量u,v之點積(dotproduct，註記為u∙v)定義如下u∙v=u1v1+…+unvn任意二向量之點積均為一實數。Example1試求向量u=(1,–2,4)及v=(3,0,2)之點積。Solution16點積性質令u,v及w為Rn之向量，c為純量，則u‧v=v‧u(u+v)

7、‧w=u‧w+v‧wcu‧v=c(u‧v)=u‧cvu‧u0,且u‧u=0若且唯若u=0Proof1.17Rn中向量之範數定義：Rn中一任意向量u=(u1,···,un)之範數（Norm，或稱長度或大小，註記為

8、

9、u

10、

11、）定義如下註：向量之範數亦可以用點積表示，向量之長度為18定義：單位向量(unitvector)指範數為1的向量，若v為一非零向量，則為一方向與v相同之單位向量（請讀者證明之），這種對一已知向量建構與其同向之單位向量的程序稱為向量正規化(normalizationofavector)試

12、分別求解R3中向量u=(1,3,5)及R4中向量v=(3,0,1,4)之範數。SolutionExample219Example3Solution試證明向量(1,0)為一單位向量試求向量(2,−1,3)之範數，並請正規化此向量(a)，因此向量(1,0)為一單位向量。同樣地，向量(0,1)亦可被證明為R2中之單位向量。(b)，即向量(2,−1,3)之範數為，而其正規化向量為此向量亦可以寫成此向量即為方向與向量(2,−1,3)相同之單位向量。2