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1、高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：f(x)2n1(xna)(xa)n,(x[0,),nN)求函数f(x)的最小值;（Ⅱ）证明:anbn(ab)n(a0,b0,nN)；22均为正数,则有a1na2na3nakn（Ⅲ）定理:若a,a2,aLakL(a1a2a3Lak)n成立13kk(其中k2,kN,k为常数)．请你构造一个函数g(x)，证明：当a1,a2,a3,L,ak,ak1均为正数时，a1na2na3nLakn1(a1a2a3Lak1)n．k1k1解：（Ⅰ）令f'(x)2n1nxn1n(ax)n10得(2x)n1(ax)n
2、12xaxxa⋯2分当0xa时，2xxaf'(x)0故f(x)在[0,a]上递减．当xa,f'(x)0故f(x)在(a,)上递增．所以，当xa时，f(x)的最小值为f(a)0.⋯.4分（Ⅱ）由b0，有f(b)f(a)0即f(b)2n1(anbn)(ab)n0故anbn(ab)n(a0,b0,nN)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分22a1na2na3nakn（Ⅲ）证明:要证：1L1(a1a2a31Lak1)nkk只要证：(k1)n1(a1na2na3nLakn1)(a1a2a3Lak1)n设g(x)(k1)n1(a1na2na3nLxn)
3、(a1a2a3Lx)n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分则g'(x)(k1)n1nxn1n(a1a2Lakx)n1令g'(x)0得xa1a2Lak⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分k当0xa1a2Lak时，g'(x)n[(kxx]n1n(a1a2Lakx)n1kx)n1x)n1n(a1a2Lakn(a1a2Lak0故g(x)在[0,a1a2Lak]上递减，类似地可证g(x)在(a1a2Lak,)递增kk所以当xa1a2Lak时，g(x)的最小值为g(a1a2Lak)⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分kk而g(a1a2Lak)(k1)n1[a1na2nLakn(
4、a1a2Lak)n](a1a2Laka1a2Lak)nkkk=(k1)n1[kn(a1na2nLakn)(a1a2Kak)n(k1)(a1a2Lak)n]kn(k1)n1[knnnLnk(a1a2Ln]=(k1)n1n1nnLn(a1a2n=n(a1a2ak)ak)n1[k(a1a2ak)Lak)]kk故g(a1a2Lak)由定理知:kn1(a1na2nLakn)(a1a2Lak)n00g(a1a2Lak)kQak1[0,)g(ak1)0k故(k1)n1(a1na2na3nLakn1)(a1a2a3Lak1)n即:anananLanaaaL
5、an.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..14分1231k1(1231k1)kk2、用类比推理的方法填表等差数列an中等比数列bn中a3＝a2db3b2?qa3a4a2a5b3?b4b2?b5a1a2a3a4a55a3答案：b1?b2?b3?b4?b5b353、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A．nB．n+1C．n-1D．n2答案：D4、若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如：1421197，19717，则f(14)17;记f1(n)f(n),f2(n)f
6、(f1(n)),,fk1(n)f(fk(n)),kN*,则f2008(8)____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaaaa2aaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分证明：SAAB,SAAD,且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）分别取SC、SD的中
7、点G、F，连GE、GF、FA，S则GF//EA,GF=EA,AF//EG而由SA面ABCD得SACD，2aa5分又ADCD，CD面SAD，CDAF又SA=AD,F是中点，AFSDAF面SCD,EG面SCD,面SEC面SCD所以二面角E-SC-D的大小为90⋯⋯⋯⋯10分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分FGADEH在RtSCD中，DHSDDC2aa6aSC3a3BC答：点D到面SEC的距离为6a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分36、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自
8、然数列n(n1)中的各数依次输入Aan，结果表明：①从A口输入n1；②当n2时，口，从B口得到输出的数列1时，从B口得a13从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an1先
