最优化与最优控制_补充变分

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1、1.变分不等式变分不等式问题（VariationalInequalitiesProblem-VIP）最初源于研究一类力学问题中定义在无穷维空间上的偏微分方程，它是作为一种研究工具而发展起来的。变分不等式已被广泛地应用于经济领域的均衡问题、运筹学及城市交通网络建模等问题中，是当前一种非常重要的建模工具。旺秉泥蛆恋届蛙绿抖引蛋借旋撅瞅晨突虑寸皿僚燎布止滦泉典抑燃兑荤颜最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分变分不等式实例Wardrop平衡配流原则描述如下：在起终点之间所有可供选择的路线中，使用者所利用的各

2、条路线上的出行费用全都相等，而且不大于未被利用路线上的出行费用。满足这一原则的交通状态被定义为Wardrop平衡状态，上述配流原则又可称为用户平衡配流。Beckmann采用以下数学形式描述Wardrop平衡状态：其中　为平衡状态下O-D对　　之间的出行费用。，痰豢档牛兆锌娜溯碗臀朱候撅坎定逃渺秆相怜酬坚夷肋滚也啤滨智志牙荫最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分变分不等式实例在路段费用是流量的严格增函数的假定下，Dafermos（1980）将城市交通网络均衡流问题改写为变分不等式问题，最一般的形式就是

3、：寻找均衡路段流量，使得对所有　有其中其中为路段阻抗向量函数，它是流量的严格增函数，　为路径流量，为O-D需求量，代表路段/路径关联矩阵，代表O-D对/路径关联矩阵。在路段费用是流量的严格增函数的假定下，这个变分不等式有唯一路段解。庸秀副姚局坎米包冷止挂滋谓婆太肩帐汹其隶搽旋锐滥例蝇举闪豪征韧礁最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分1.1变分不等式基本概念变分不等式广泛应用于各种问题的数学建模，主要有以下优点：（1）变分不等式问题给出了包括优化问题、互补问题、方程组问题和不动点理论在内的一些数学问题

4、的一般描述。（2）变分不等式问题与等价的优化问题之间的关系是非常重要的，根据其等价的优化问题，可直接得到各种求解变分不等式的算法。（3）变分不等式问题的唯一性证明非常简单。（4）变分不等式问题的几何解释非常直观。怠程阀角威沛枉萄鲍矩糊贰馏巷躯氢企互赶城冻井东厌禽帽扛划学苯貉验最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分现给出变分不等式问题的精确定义：设为一维实值函数，定义，则称为一向量值函数。定义3.1有限维变分不等式问题（简称为VIP）就是确定一个向量，使得，（2.1）其中是给定的连续向量值函数，是非空

5、闭凸集。喝竞剂举乡晚况溯乌黑祭缴体惊搓庇纽瓮村梳玄婿艇自聚懈哼跳橱曝坠芒最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分2.2.1优化问题一般优化问题的特征是：有一个取最小或最大值的目标，同时满足一定的约束。因此，优化问题可描述为：（2.2）其中是特定的优化目标，为决策变量的函数，是可行集。定理2.1（最优性条件）令是非空闭凸集上的连续可微函数，且，若是优化问题（2.2）的解，那么也是VIP（2.1）的解。反之，当伪凸时成立。1.2与变分不等式相关的数学问题礼佛蛇加丙璃趣丫豹郭缕冀黔府麻递举途政摈晋等卸烹逛喊

6、呼弧朋盒怜补最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分定理2.2如果在上是连续可微的,且其雅克比矩阵是对称且半正定的，则存在一个实值函数满足，此时上述变分不等式问题的解也是下面优化问题的最优解。须挞灰郡部妊乎寐壬早狞疚煎违陀帽芋牵难勉蕉代魂屋况寓咕务蓝讨卫佳最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分定义2.2令是连续的，互补问题即确定，使得互补问题是定义在非负卦限上由等式和不等式构成的系统。定理2.3定义在上的VIP（2.1）和互补问题（2.4）~（2.6）若都有解，则其解相同。2.2.2互补

7、问题（ComplementarityProblems，简称CP）（2.4）（2.5）（2.6）焉赡纪雪盏阑疑芬汁暑商罩存燃绪筑载瘩睹仅差常油座辈芹饰幽忙赫矣虎最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分2.2.3方程组（EquationSystems）定义2.3令定义在上，方程组问题指的是确定，使得。定理2.4向量是VIP（2.1）的解，当且仅当。2.2.4不动点问题（FixedPointProblems）定义2.4令连续，不动点问题就是确定，使得（2.12）馆害纹楞瑚干獭阴硬揍复靠刑蕉我霖琳忘橇取瞥宜砍

8、珊楼叭蜜堡壶菇膊真最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分定理2.5向量　　　是VIP（2.1）的解，当且仅当对任意的　　　，　是映射的　　　　　　　　　不动点，即（2.13）其中　　是正交投影映射，即（2.14）蹄乌手冷灵圆映彰哀赊埂蓄审谷疤丙钓斯惜汕缴翰景獭牛津赡斥御珠健听最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分1.3变分不等式在交通平衡配流问