线性代数期末复习知识点考点总结

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1、-.线性代数必考的知识点1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行〔列〕的元素乘以其它行〔列〕元素的代数余子式为0；③、某行〔列〕的元素乘以该行〔列〕元素的代数余子式为；3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，那么；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，那么；将主对角线翻转后〔转置〕，所得行列式为，那么；将主副角线翻转后，所得行列式为，那么；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上

2、、下三角行列式〔〕：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.是阶可逆矩阵：〔是非奇异矩阵〕；〔是满秩矩阵〕-.可修编.-.的行〔列〕向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成假设干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行〔列〕向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；1.

3、对于阶矩阵：无条件恒成立；2.3.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；4.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：假设，那么：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；〔主对角分块〕③、；〔副对角分块〕④、；〔拉普拉斯〕⑤、；〔拉普拉斯〕3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，假设；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；-.可修编.-.②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元

4、素所在列的其他元素必须为0；1.初等行变换的应用：〔初等列变换类似，或转置后采用初等行变换〕①、假设，那么可逆，且；②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，那么可逆，且；2.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；3.矩阵秩的根本性质：①、；②、；③、假设，那么；④

5、、假设、可逆，那么；〔可逆矩阵不影响矩阵的秩〕⑤、；〔※〕⑥、；〔※〕⑦、；〔※〕⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，那么：〔※〕Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解〔转置运算后的结论〕；Ⅱ、⑨、假设、均为阶方阵，那么；4.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵〔向量〕行矩阵〔向量〕的形式，再采用结合律；-.可修编.-.②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项；Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：；③、利用特征值和相似对角化：1.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、2.关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为

6、0，阶子式全部为0；〔两句话〕②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；3.线性方程组：，其中为矩阵，那么：①、与方程的个数一样，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数一样，方程组为元方程；4.线性方程组的求解：①、对增广矩阵进展初等行变换〔只能使用初等行变换〕；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；5.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、〔向量方程，为矩阵，个方程，个未知数〕③、〔全部按列分块，其中〕；-.可修编.-.④、〔线性表出〕⑤、有解的充要条件：〔为未知数的个数或维数〕4、向量组的线

7、性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；〔齐次线性方程组〕②、向量的线性表出是否有解；〔线性方程组〕③、向量组的相互线性表示是否有解；〔矩阵方程〕3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4.；(例15)5.维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线〔平行〕；③、线性相关共面；6.线性相关与无关的两套定理：假设线性相关，那么必线性相关；假设线性无关，那么必线性无关；

8、〔向量的个数加加减减，二者为对偶〕假设维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：假设线性无关，那么也线性无关；反之假设线性相关，那么也线性相关；〔