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时间：2022-01-13
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1、第六章微分方程6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3可降阶的二阶微分方程6.4二阶线性微分方程6.5微分方程的应用举例6.1微分方程的基本概念定义例偏微分方程.常微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶.一阶微分方程:高阶微分方程:注意:注意:线性与非线性微分方程：微分方程的解:等式的函数称之为微分方程的解.代入微分方程能使方程成为恒微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:不包含任何任意常数的解.初值问题:求微分方程满
2、足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初始条件:用来确定任意常数的条件.通解的图象:微分方程的积分曲线族.解的图象:微分方程的积分曲线.解所求特解为注意：思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.思考题6.2一阶微分方程一.可分离变量的微分方程则称原微分方程为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程解法：称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.例1求微分方程解分离变量两端积分例2解二.齐次方程定义的微分方程称为齐次方程.解法:令,代入原方程，得可分离变量的微分方程.例3求解微
3、分方程微分方程的解为解例4求解微分方程解微分方程的解为三.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:(1)称为齐次方程.(1)称为非齐次方程.例如线性的;非线性的.1.先求线性齐次方程的通解：一阶线性微分方程的解法齐次方程的通解为用分离变量法2.再求线性非齐次方程的通解：讨论非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比，不难看出：只要在齐次方程的通解中，积分得故一阶线性非齐次微分方程的通解为:称为常数变易法.把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段之长数值上等于阴
4、影部分的面积,求曲线.解两边求导得代入方程，得故所求曲线为伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.四.伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士）代入上式,得解例3例4用适当的变量代换解下列微分方程:解代入原方程，得故原方程的通解为解所求通解为1、分离变量法步骤:1）分离变量;2）两端积分-------隐式通解.小结2、齐次方程3.线性非齐次方程4.伯努里方程6.3可降阶的二阶微分方程解解例3解1解2例4解1解2故通解为解3两边积分,得故通解为6.4
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