高阶微分方程与微分方程组.doc

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1、§4高阶微分方程与微分方程组一、高阶微分方程与微分方程组的互化已给一个n阶方程设y1=y,y2=y',y3=y",…,yn=y(n-1)，那末解上面n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组式中y1,y2,…,yn看作自变量x的n个未知函数.反过来，在许多情况下，已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组(1)将方程(1)对x求导数记作(2)从方程(1)中解出y2代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程这里函数由函数f1，f2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.二、高阶微分方

2、程的几种可积类型及其解法1.y(n)=f(x)将方程写成积分后得到重复这一过程到积分n次，就得到微分方程的通解：2.F(x,y(n))=01°若能解出y(n)，则方程化成类型1求解.2°若不能解出y(n)，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解：设函数(t),(t)(

3、:y(n)=f(y(n-1))则令y(n－1)=z，上式化成这是变量可分离的方程，设解为z=(x,c1)那末化成类型1y(n-1)=(x,c1)其通解为2°若不能解出y(n)，但原方程可写成参数形式：y(n-1)=(t),y(n)=(t)则从dy(n-1)=y(n)dx得按类型2的方法，可得通解（参数形式）4.F(y(n-2),y(n))=0设方程可解出y(n)：y(n)=f(y(n-2))令z=y(n-2)，方程两边乘以2z'化成d(z'2)=2f(z)dz积分后有用分离变量法求得z=(x,c1,c2)那末y(n-2)=(x,c1,c2)再积分n-2次就得原方程

4、的通解.三、线性微分方程组1.齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组[齐次与非齐次]线性微分方程组的一般形式为(1)式中aik(t)和fi(t)()都是自变量t的已知连续函数.如果至少有一个fi(t)不恒等于零，则称(1)为非齐次线性微分方程组.如果所有fi(t)都恒等于零，则称(1)为齐次线性微分方程组，它的一般形式是(2)如果齐次线性微分方程组(2)与非齐次线性微分方程组(1)具有相同的系数（即对应的aik(t)都相同），就称(2)是非齐次线性微分方程组(1)的对应的齐次线性微分方程组.[解的存在定理]如果线性微分方程组(1)的所有系数aik(t)和右端函数

5、fi(t)在区间(t1,t2)内连续，那末方程组(1)在此区间的每一点t0(t1

6、≡0(i=1,2,…,n)，称(3)为齐次的，当fi(t)不全恒等于零，称(3)为非齐次的.[特征根与齐次方程组的线性无关解]是λ的n次代数方程，它称为非齐次线性微分方程组(3)所对应的齐次线性微分方程组的特征方程，特征方程的根称为特征根.根据特征根的不同情形，给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式.特征根λ线性无关解中相应的解的形式说明λ是单实根(j=1,2,…,n)Aj是待定常数λ是r重实根(j=1,2,…,n)Pj(t)是系数待定的次数不超过r-1次的多项式λ=α±iβ是k重复根(j=1,2,…,n)Qj(t)，Rj(t)是系数待定的次数不超过k-1次的

7、多项式[用常数变易法求非齐次方程组的特解]非齐次线性微分方程组(3)的一个特解，可由对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得.设y11,y21,…,yn1;y12,y22,…,yn2;…;y1n,y2n,…,ynn是对应的齐次线性微分方程组的n个线性无关解.那末非齐次线性方程组的一个特解y1,y2,…,yn可由下列形式确定式中ci(t)是待定函数，它们满足下列方程组：从上面方程组解出，再积分就得出所要求的ci(t)(i=1,2,…,n)例求解微分方程组：(1)解先求对应的齐次线性微分方程组(2)的通解.由特征方程可知特征根为λ=5,.则相应的线性无关解是如

8、下形式：分