高等数学(1)模拟试题之一

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国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库高等数学（1）模拟试题之一一、单项选择题（每小题3分，共15分）sinx,x11．设函数f(x)，则f()=（）．0,x1422A．0B．1C．D．-222．下列极限存在的有()．1211xxA．limeB．limC．limsinD．limx2x0x0x0xx021xxlnx3.设y，则dy=（）．x1lnx1lnxlnx1lnx1A.B.dxC.D.dx2222xxxxf(x)4．若F(x)f(x)，则dx=（）．x1A．2F(x)CB．F(x)Cx1C．F(x)CD．F(x)C25.设un为数项级数，其部分和数列{Sn}有界是级数收敛的（）．n1A．必要但非充分条件B．充分但非必要条件C．必要充分条件D．既非充分又非必要条件二、填空题（每小题3分，共15分）24x1．函数y的定义域是．1x1kx22．设lim(1)e，则k=．xx323．曲线yxx1上点(1,3)处的切线方程是．第1页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心 国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库dx4．=．3ex(lnx)5．微分方程ypyqy0（p，q为常数）的特征方程为．三、计算题（每小题6分，共54分）3x1x1．lim2x1x1x2．lim(x)tanx2sinx3．设y，求y()．1cosx34．已知y2x(xy)ln(xy)，求y(x)．2sinlnx5．dxx16．求由曲线y和直线y4x，x2，y0所围图形面积．xnx7．求幂级数的收敛半径．nn1n2y278．求微分方程yx1满足初始条件y(1)的特解．x49．求微分方程y4y4y0满足初始条件y(0)1，y(0)0的特解．四、应用题（本题12分）一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时20公里时，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S公里，问火车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？五、证明题（本题4分）1试证：当x1时，有2x3成立．x第2页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心 国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库高等数学（1）模拟试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．C2.D3.B4.A5.A二、填空题（每小题2分，共10分）1121.[2,1)(1,2]2.3.5xy204.5．pq022三、计算题（每小题6分，共54分）3x1x(3x1x)(3x1x)1．解：limlimx12x12x1(x1)(3x1x)2(x1)lim（3分）x12(x1)(3x1x)2limx1(x1)(3x1x)1（6分）22x(x)2．解：lim(x)tan=lim（2分）x2xxcot21=lim（4分）x12xcsc222x=lim2sin=2（6分）x2cosx(1cosx)sinx(sinx)3．解：因为y（2分）2(1cosx)第3页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心 国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库1cosx1（4分）2(1cosx)1cosx1所以y()31cos32（6分）34．解因为在方程等号两边分别对x求导，得1yy2(1y)ln(xy)(xy)（3分）xy[2ln(xy)]y3ln(xy)3ln(xy)所以y（6分）2ln(xy)2sinlnx25．解：dx=sintdt（2分）x1cos2t=dt211=(tsin2t)C（5分）2211=(lnxsin2lnx)C（6分）22y6．解：平面图形的草图如右图．y=4xy4x由12yxx=21y=1/x1得交点坐标(,2)．所以平面图形的面积为o12x26题解图1212A4xdx1dx（3分）0x2第4页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心 国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库1222=2xlnx1021=2ln2（6分）21n1an1n127．解：因为lim=lim（2分）nan1nnn2n1=lim（4分）n2n12所以原幂级数的收敛半径为：2（6分）128．解因为P(x)，Q(x)x1x11dxdxx2x用公式ye[(x1)edxC]（2分）lnx2lnxe[(x1)edxC]4231xxxxc[c]（4分）x4242x311c7由y(1)，得c142143xx1所以原方程的特解为：y（6分）42x29．解：原方程的特征方程为440，特征根为重根1,22，故原方程的通解为2xy(C1C2x)e其中C1,C2为任意常数．（3分）将条件y(0)1，y(0)0代入，得C11，C22．第5页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心 国家现代远程教育资源库www.mder.com.cn文本库2x所以原方程的特解为y(12x)e．（6分）四、应用题（本题12分）解：设火车行驶速度为每小时x公里，每小时耗煤的费用为y元，从甲地到乙地的总费用为E元．340由已知条件，知ykx，且当x20时，y40，故k0.005，因此3203y0.005xS2200总费用为E(y200)(0.005x)S（6分）xx200因为E(0.01x)S．2x3令E0，得x10203由题意知总费用的最小值存在，且驻点唯一，故函数在1020处取得最小值，即当火3车行驶速度为每小时1020公里时，从甲地到乙地的总费用为最省.（12分）五、证明题（本题4分）11证：设f(x)2x(3)2x3xx11因为f(x)2xx211当x1时，有xxx，得f(x)0，即f(x)单调增加.有2xxf(x)f(1)21301即2x(3)0x1所以，当x1时，2x3（4分）x第6页共6页制作：中央广播电视大学现代远程教育资源中心