标准正态分布

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1、第四章常用概率分布韩国君教授1第一节正态分布NormalDistribution2定义若连续型随机变量x的概率分布密度函数为其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布，记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为正态分布(normaldistribution)3正态分布正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=μ；f(x)在x=μ处达到极大，极大值；f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-∞至+∞曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)区

2、间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的4正态分布正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ5正态分布分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，6标准正态分布(standardnormaldistribution)μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)7标准正态分布对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通过标准化变换u=(x-μ)／σ将其变换为服从标准正态分布的随机变量uu称为

3、标准正态变量或标准正态离差(standardnormaldeviate)8三、正态分布的概率计算设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2）何内取值的概率为：＝Φ(u2)－Φ(u1)而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。9标准正态分布正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1，便能很方便地计算有关概率：P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5P(u≥u1)=Φ(-u1)P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)10计算已知u

4、～N(0，1)，试求：(1)P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?11计算查附表1得：(1)P(u＜-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.3038912关于标准正态分布，以下几种概

5、率应当熟记：P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.9913计算u变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(

6、｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.0114由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的15双侧概率和单侧概率随机变量x落在平均数μ加减不同倍数标准差σ区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作α。对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，称为单侧概率(一尾概率),记作α/2。例如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.0

7、25。P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.02516x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率P(x<μ-2.58σ)=P(x>μ+2.58σ)=0.00517第二节卡方分布Chi-squareDistribution18定义如果随机变量zi(i=1,...,n)为相互独立，都服从标准正态分布，则定义：,i=1,...,n变量2服从自由度等于n卡方分布（chi–squaredistribution）。19卡方分布曲线图4-1不同自由度下的2分

8、布图4-22分布的上侧和下侧分位数示意图20卡方分布特征卡方分布于区间[0，+)，并且呈反J形的偏斜分布。卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当df>30时，卡方分布已接近正态分布。21第三节t分布22定义如果z~N(0,1),2服从自由度等于n的卡方分布,则为自由度为n的t分布t分布的形状与正态分布相似23t分布不同自由度下的t分布t分布双侧分位数示意图24t分布密度曲线特点t分