19积分

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1、3.积分知识网络积分结构简图画龙点晴概念原函数：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F（x），在区间I上任何一点x处都有F/(x)=f(x)，那么F（x）叫做f(x)在区间I上的一个原函数。原函数的性质：设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)+C也是f(x)的原函数;并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)+C的形式。说明：（1）F（x）与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间;（2）F（x）是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数;（3）求原函数（在不计

2、所加常数C的情况下）与求导数互为逆运算。不定积分：设F（x）是f(x)的一个原函数，则函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作：=F(x)+C,其中叫做积分号,f(x)叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.不定积分的两个性质：（1）（）/=f(x);(2)=F(x)+C.说明：(1)一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数;(2)求不定积分时，不要漏写任意常数C;(3)求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应

3、相等。[活用实例][例1]计算.[题解]==.[例2]若曲线在x处的导数是,且曲线过点(1,3),求的解析式.[题解]∴∴.[例3]证明：,是同一个函数的原函数.[题解]∵－=4是常数,∴,是同一个函数的原函数.公式基本积分公式：（C为常数）（1）=C.（2）=.（3）.(4).（5）.（6）.（7）.不定积分的运算法则：（1）=k.（2）=+.[活用实例][例4]计算不定积分：(1);(2).[题解](1)==(2).[例5]计算不定积分：(1);(2).[题解](1)==(2)[例6].[题解]=+C.概念换元积分法:换元积分法就是通过适当的变

4、量替换,使被积式化为基本积分表中的某一被积式,然后求出结果.[活用实例][例7]求[题解]令,则,故[例8]求[题解]令,则,故定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0

5、过的路程S等于其速度函数在时间区间上的定积分,即S=.公式定积分的性质：（1）=(k为常数);（2）=;（3）=+（其中a

6、[例9]求.[题解]=[例10].[题解]==平面图形的面积：(1)如图1,由三条直线x=a,x=b(a

7、在第一象限的部分,绕轴旋转而生成的旋转体的一半,[例13]某电厂冷却塔是双曲线的一部分绕其轴(即双曲线的虚轴)旋转而成的曲面,其中Ａ、Ａ′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，BB′是冷却塔下底直径的两个端点，已知AA′=14m，BB′=22m，CC′=18m，塔高20m．(1)建立坐标系并写出该双曲线的方程；(2)求冷却塔的体积.[题解]如图所示建立坐标系,设双曲线的方程为，则.又设,因为B、C在双曲线上，所以有(1)，(2)由题意可知(3)解⑴⑵⑶可得，故双曲线的方程为.(2)由双曲线的方程可得设冷却塔的容积为V(m3)，则V==

8、.经计算得冷却塔的容积为V=4250m3．定积分在物理学上的应用(1)变速直线运动的路程：物体作变速直线运动的路程s，等于