四川省成都市第七中学2023 2024学年高三下学期入学考试理科数学试卷 Word版含解析.docx

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2023—2024学年度下期高2024届入学考试理科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.9B.8C.7D.6【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合A，求出集合B补集，即可确定的元素，根据元素的个数，即可求得的真子集的个数.【详解】由题意，，故，故，则的真子集的个数为，故选：C2.若函数是定义在上的偶函数，则（）A.B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以且，则， 所以，则.故选：D．3.已知复数z满足，则（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算求出复数z即可得出答案.【详解】由题意，复数满足，可得，所以．则1，故选：C．4.已知，则（）A.B.C.30D.60【答案】D【解析】【分析】设，则，变换，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设，则，所以．的展开式的通项，取得．故选：D．5.已知正项等差数列的前项和为，且，．则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合 ，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，所以两式相减得，可得，即，所以，因为是正项等差数列，则，则，所以，由，得，得，即，所以，所以，，得，，A，B错误；，C正确；，D错误，故选：C.6.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】由已知可得，解得，所以，， 故.故选：D.7.对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将中的变为后两式相减可得数列的通项公式，然后令即可求出的最大值.【详解】由已知得①，则当时，②所以①-②得，即，又当时，，符合，故，所以令，得，所以的最大值为.故选：D.8.在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.【详解】设点P的坐标为，如图所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.故选：D9.设函数若存在且，使得，则取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得. 【详解】不妨取，由可得：，由可得，由图可取要使存在且，使得，需使，，解得.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10.在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题设条件作出四面体的高，通过相关条件推理计算分别求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作平面，连接，易得因， 平面，所以平面，平面，故,由题可得，，则.不妨设，则有①，在中，由余弦定理，，在中，②，将两式相减化简即得：，.取线段中点，过点作平面，其中点为外接球的球心，设外接球半径为，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由计算可得：，则该四面体的外接球表面积为.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A.54B.53C.47D.46【答案】B【解析】【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：0、2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有种情况，都符合题意，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，若奇数取9，有种情况；若奇数取7，有种情况；若奇数取5，有种情况；若奇数取3，有种情况；若奇数取1，有种情况；综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有种.故选：B12.定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由，得.令，则，即为偶函数.当时，，所以在上单调递增；所以在上单调递减.由， 得，即.又为偶函数，所以，因为在上单调递减，所以，即，解得，或，所以a的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．【答案】##0.5【解析】【分析】根据已知条件求得，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得，故可得，则，则右焦点坐标为，一条渐近线为，右焦点到一条渐近线的距离.故答案为：.14.在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，_____________．【答案】## 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设，根据，结合数量积运算，求得，进而表示出的面积，结合面积有最小值即可求得，即可求得答案.【详解】以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，因为，故，即，由于平面，平面，故，所以的面积为，而，故，当时，取最小值，即S最小，此时，则，故，即，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合面积最小，求出参数，即E点的坐标，从而解决问题.15.设数列满足，，，令 ，则数列的前100项和为___________．【答案】【解析】【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列满足，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，因此，显然的周期为4，则，令，则有，，数列是等差数列，数列的前100项和，即数列的前25项和.故答案为：.16.已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意首先得，，进一步有 ，由此即可顺利得解.【详解】由题意设，则函数的零点即为方程的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示：若函数有三个零点，（不妨设为），则方程的根有三个根，且，所以，且，因为在单调递增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到，由此即可顺利得解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联.【答案】（1）没有（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以取值依次为0，1，2，，，，所以的分布列为 012.18.在锐角中，角所对应的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解.【小问1详解】，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以．【小问2详解】在锐角中，，记的面积为．由正弦定理得，即．所以．因为在锐角中，，所以， 解得，则，故．19.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【小问1详解】如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. ..设平面的法向量为，则由，取得.因为，所以解得.所以，且平面，所以平面【小问2详解】设平面的法向量为则由，解得.所以，解得.20.设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于两点.（1）求证：;（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）直线与椭圆方程联立，证明的中点坐标，即切点的坐标； （2）首先讨论直线的斜率不存在的情况，以及直线的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长，并表示的面积.【小问1详解】设直线斜率不存在，则点在轴上，由对称性可知，，若直线的斜率存在，设，，，，联立，可得，当时，直线与椭圆切于点，，解得：，，当时，线段中点的横坐标，所以点为线段的中点，，综上，；【小问2详解】若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，，故，若直线斜率存在，由（1）可得，，，点到直线的距离，所以，综上的面积为定值.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线与椭圆相交和相切的问题，转化为证明的中点，即切点. 21.设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；（3）设时，求证：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建，由题意可知：当时，恒有，且，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当时，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为，则，则，，即切点坐标为，斜率，由题意可得：，解得.【小问2详解】令，则，由题意可知：当时，恒有，且，则，解得，若，则有： ①当时，，因为，可知，令，因为在内单调递增，可得在内单调递增，则，即，符合题意；②当时，则在内恒成立，符合题意；③当时，令，则，因为，则，，可知在内恒成立，则在内单调递增，可得，则在内单调递增，可得，符合题意；综上所述：实数a的取值范围为.【小问3详解】由（2）可知：当时，，令，可得，令，则，则，整理得，令，则，整理得，则，所以.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程，曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设分别为曲线与曲线上的动点，求线段的最小值．【答案】（1）曲线极坐标方程，曲线的直角坐标方程为（2）无公共点，【解析】【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【小问1详解】曲线的普通方程，极坐标方程，，曲线的极坐标方程为．化为直角坐标方程为；【小问2详解】 曲线的普通方程，圆心为，到直线的距离为，故曲线与曲线的无公共点，即直线与圆相离，得线段的最小值为．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，若且，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定的值，利用基本不等式即可证明.【小问1详解】不等式可化为或，由，可得，解得或；由，可得，解得，所以不等式的解集为．【小问2详解】由题意，知，当时，，因在上单调递减，则；当时，， 因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；当时，，因在上单调递增，则.综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，因，所以，当且仅当时等号成立，故．