浙江省杭州四中吴山2023-2024学年高一上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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杭州四中（吴山）2023学年高一年级第一学期期末考试数学试题考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．2、答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号．3、所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．4、考试结束，只上交答题卷．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合，，，则集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集、并集的定义计算可得.【详解】因为，，，所以，则.故选：C2.“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，可得，所以由推不出，即充分性不成立，由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A3.若，，，则（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为在定义域上单调递减，所以，即，在定义域上单调递减，所以，即，所以.故选：B4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：A5.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】依题意可得，解得即可.【详解】因为函数是上减函数，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：D6.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由特殊值判断即可.【详解】函数的定义域为， 且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；因为，又，故排除A.故选：C7.已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，利用换元法令，画出函数，的函数图像，数形结合即可求解.【详解】由正弦函数的对称轴可知：，，又因为，所以的最小值为，即.，则，令，则有，，函数图像如图所示： 由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，根据的图像有实数a的取值范围是.故选：D8.若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.【详解】因为正实数、满足，即，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，因为正实数、满足，且恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9.若，给出下列命题中，错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C.【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；对于B：因为，，则，所以，故B错误；对于C：若，，，，满足，，但是，故C错误；对于D：因为，，所以，故D正确，故选：BC10.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B不正确；对于C中，由，所以C不正确；对于D中，由，所以D正确.故选：AD.11.已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数在区间上单调递减【答案】AB【解析】【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间，即可判断.详解】由图象可知，，即，所以，又，可得，又因为，所以，所以，故A正确；当时，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；当时，，故函数的图象不关于点对称，故C错误；当时，则，因为在上不单调，所以函数在上不单调递减，故D错误． 故选：AB12.养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（）A.函数定义域为，且是奇函数B.对于任意的，都有C.对于任意的，都有D.对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足【答案】ABC【解析】【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D.【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，故A正确；任意的，，故B正确；因为，，所以，故C正确；取，则，，故D错误. 故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由扇形的面积公式有：考点：扇形的面积公式【名师点睛】1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．14.函数的零点，则的值为____________．【答案】【解析】【分析】由函数单调性以及零点存在定理定理得，由此即可得解.【详解】因为和均单调递增，所以也单调递增，又注意到，所以由零点存在定理可知函数的零点，所以，.故答案为：.15.已知是第二象限角，且，则____________．【答案】##【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解.【详解】因为是第二象限角，且，所以，，所以.故答案为：16.已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果.【详解】因为方程有四个根，故函数的图象与函数的图象有四个交点，它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故，当时，，且，所以，解得，因为函数的图象与函数的图象有四个交点，由图可得，，故，所以，令，，在单调递增，所以，，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：（1）；（2）．【答案】17.18.0【解析】【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解；（2）利用诱导公式化简求解.小问1详解】原式. 【小问2详解】原式.18.已知集合，.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两个集合的交集的定义求出.（2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即得所求.【小问1详解】当时，集合，，故.【小问2详解】，则，当时，，即，满足，故；当时，，即时，则，解得，于是得，综上所述：，所以实数的取值范围是.19.某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是． （1）求关于的函数解析式，并求出定义域；（2）设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.【小问1详解】依题意可得零件的面积，故，由，即，解得．故，.【小问2详解】如图所示：作交于，交于，连接． 故，又，设圆的半径为，故，当，即时等号成立．故当时，面积最小值，即的最小值为．20.已知函数．（1）若过定点，求的单调递减区间；（2）若值域为，求a的取值范围．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解；（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由函数过定点，可得，可得，解得，所以，令，解得或，即函数的定义域为，设，则函数在上为单调递减函数， 又由函数在定义域上为单调递增函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，所以函数的递减区间为.【小问2详解】解：由函数的值域为，即为函数值域的子集，即，当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；当时，则满足，解得，所以；当时，此时的开口向下，显然不满足题意，综上可得，实数的取值范围为.21.已知函数．（1）求函数在R上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数，令，解得， 所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】解：将函数的图形向左平移个单位长度，得到，再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，由实数满足，则为函数的最值，不妨设，则，解得，则，当或时，此时.22.设，函数．（1）若函数为奇函数，求a的值；（2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数利用求解即可；（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简可得解.【小问1详解】由函数，且函数为奇函数 所以，即，化简可得，解得，当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.所以函数为奇函数时，或.【小问2详解】，，，故，而，，当时，在上为增函数，当时，，即是方程的两个不同的实根，令，则在上有两个不等的实根，故，即，解得；当时，，函数定义域为，时，，若，则，而，所以，矛盾，故， 因为在上单调递减，故，即，两式相减可得，因为，所以，即，所以，即.综上，当时，，当时，，即的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于对分类讨论，确定函数的定义域及单调性；关键点之二在于当函数为单调递增函数时，建立最大值与最小值的表达式，据此抽象出为方程的两不等实根，从而换元后根据根为正数，列出不等式组.