高考数学热点考点题型探析4

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1、高考数学热点考点题型探析解三角形应用举例★抢分频道★基础巩固训练1.台风中心从A地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（　）　A．0.5小时　　　B．1小时C．1.5小时　　　D．2小时解析:设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos450化简得｜x1－x2｜2＝（x1＋x2）2-4x1x2=400,

2、x1－x2｜＝CD＝]2．在中，，的平分线把三角形面

3、积分成两部分，则（）ABCD解析：∵的平分线把三角形面积分成两部分,∴,∴∴]3．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq=.[解析]在△ABC中，AB=100m,ÐCAB=15°,ÐACB=45°-15°=30°由正弦定理：∴BC=in15°在△DBC中，CD=50m,ÐCBD=45°,ÐCDB=90°+q由正弦定理：Þcosq=.4．如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度

4、和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h=，才能使桌子边缘处最亮.解R=rcosθ，由此得，5.（韶关市二模）某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距的、两地（假设、、、在同一平面上），测得∠，，，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在中，由已知

5、可得，所以，………在中，由已知可得，由正弦定理，在中，由余弦定理所以，施工单位应该准备电线长.答：施工单位应该准备电线长.综合拔高训练6.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)在△AC

6、B中，∠CAB=30°+60°=90°(2)∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°在△ACD中，据正弦定理得，∴答此时船距岛A为千米7.在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值解按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=

7、2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=1θ，由正弦定理知∴BP=在△PBD中，,∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－38.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问

8、此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解析:设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得,OABvt2(1－k)t4kt15°即,

9、整理得,要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且,解得,故当船速在内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见