高等代数讲义123章

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1、第一章多项式知识点考点精要一、一元多项式的概念与运算1、定义形式表达式(1)称为数域上的一元多项式，其中全属于数域，为非负整数。数域上的一元多项式的全体称为数域上的一元多项式环，记为。2、多项式的次数在(1)式中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为多项式（1）的次数，记为。称为零次多项式。称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式。3、一元多项式的运算及性质1）加（减）法：设，是数域上的两个一元多项式。则。2）乘法：设，是数域上的两个一元多项式。则。2）性质（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）乘法交换律

2、：（4）乘法结合律（5）乘法对加法的分配律：40（6）乘法消去律：如果且，那么。4、多项式的次数定理设（1）当时，则（2）（3）二、多项式的整除性1、带余除法（Euclid除法）设则存在唯一的使得这里或，称上式中为除的商，为除的余式。2、整除的定义设如果存在使得称为整除记为。否则称不能整除。3、整除的性质（1），则；（2）若，则；（3）若，则为非零常数。（4）若则，其中为任意多项式。404、余数定理用一次多项式去除所得的余式是一个常数即则，且。三、最大公因式1、最大公因式定义设如果，满足：1）2）若与的任一公因

3、式则称为与的最大公因式。与的首项系数为1的最大公因式记为。2、辗转相除法设如果则。3、设则存在使得。4、互素1）定义设若则称互素。2）充要条件存在。3）互素的性质（1）（2）（3）（4）。40四、因式分解及唯一性定理1、可约与不可约数域上的次数的多项式如果能表示成数域上两个次数较低的多项式的乘积，那么就称为数域上的可约多项式，否则就称为不可约多项式。一次多项式在任何数域上都是不可约多项式。2、不可约多项式的基本性质1)不可约,为中的任意多项式2)不可约,或。3、唯一分解定理数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分

4、解成数域上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么必有并且适当调换因式的次序后有这里是一些数域中的非零常数。4、标准分解式数域上每一个次数的多项式都有唯一标准分解式，其中是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数。5、重因式1)定义设是不可约多项式，如果而不能整除，那么称是的重因式。2）如果不可约多项式是的重因式，那么它是的重因式。3）是的重因式是与的公因式。4）多项式没有重因式与互素。5）设多项式的标准分解式为：则40。六、多项式函数1、定义是数域上的多项式，对于每一

5、个都有与之对应，这就确定了数域上的一个函数关系，称为多项式函数。2、多项式的根如果对于数域中的那么把称为的根。数域上的次多项式，在数域上至多有个根（重根按重数计算）。3、代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域内有一个根。4、次复系数多项式恰有个复根；如果是实系数多项式的复根，则的共轭数也是实系数多项式的根，因此奇数次实系数多项式一定有实根。5、有理多项式1)如果一个非零的整系数多项式的系数互素，则称是一个本原多项式。2）任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数和一个本原多项式得乘积，即这种表示法除

6、了相差一个正负号是唯一的。3）引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.4）定理：如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。5）整系数多项式有理根的求法设是一个整系数多项式，是它的一个有理根，其中互素，则必有，特别的，当，的有理根都是整数，且是的因子。6）整系数多项式可约性的判断（Eisenstein是判别法）设是一个整系数多项式，如果存在素数，使（1）不能整除；（2）；（3）不能整除.40则在有理数域上不可约。6、

7、不同数域上的多项式多项式环可约性多项式的根上不可约多项式只能是一次多项式上次多项式在中有个根上不可约多项式有一次及含共轭复根的二次多项式实系数多项式非实复根成对出现上有任意次的不可约多项式（艾森斯坦判别法）有理系数多项式在有理数域中未必有根（整系数多项式有理根的求法）典型题真题精解例1证明:等价于。证明：充分性设，存在，使得，则===所以必要性若不能整除，设，,则===由充分性的证明可知，，从而，由不能整除，得出，而，于是必有。注：将拆成两部分之和，其中一部分能被整除，另一部分不能被整除，必得不能整除，这是证明

8、不整除的方法之一。例2试证：证明：设=，=，则40=由例1可知，因为故则，所以，所以例3设是素数，证明：证明：设=，则由=(1)因是素数，故

9、，，由例1，由(1)知得

10、例4已知证明：，。证明：由已知得40(2)(2)是关于,的方程组，得所以，但，所以。类似的可以证明。例5设是大于1的正整数，证明：可推出。证法一带余除法设,其中为常数，于是==因为，由整除性判别法，得=0，从而=0，故。