清华高等代数讲义(下).pdf

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1、第二学期第一次课第五章§§§3实与复二次型的分类111．1．．．复复复复、、、、实二次型的规范形实二次型的规范形实二次型的规范形：实二次型的规范形：：：定理复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形22z+L+z,1r其中r是f的秩秩秩秩.复二次型的规范形是唯一的.证明证明证明复数域CCCC上给定二次型)nnf=∑∑aijxixj(aij=aji)i=1j=1设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型222dz+dz+…dz1122nn这相当于在CCCC上n维线性空间V内做一个基变换（h，h，¼，h）＝（e，e，¼，e）T12n12n使对称双线性函数f（α，β）在新基

2、下的矩阵成对角形，即f(h,h)=dd,ijiij设d,d,…d中有r个不为零。只要把h，h，¼，h的次序重新排列一下，就可以使不12n12n为零的d排在前面，而后面n－r个d全为零。因此，不妨设f的标准型为ii222dz+dz+…dz（d¹,0i=,2,1¼r），1122rrif的矩阵为A=(a),有ijd1d2OT¢AT＝D＝dr0O0因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中d为d的任一平方根）

3、：ii1u1d1z1MOMurdrzrU==ur+11zr+1MOMu1znn于是f变作222u+u+L+u.12r定理实数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形2222z+L+z-z-L-z,1pp+1p+q其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数正惯性指数正惯性指数，负平方项的个数正惯性指数q称为f的负惯性指数负惯性指数（p-q称为f的符号差符号差符号差），符号差p+q是f的秩秩秩秩.实二次型的规范形是唯一的.证明证明证明在实数域RRRR上给定二次

4、型nnf=∑∑aijxixj(aij=aji)i=1j=1设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在RRRR上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型222dz+dz+…dz1122rr其中d,d,…d为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个:d,d,…d为正数，而余12r12p下r－p个：d,L,d为负数。因为在RRRR内任何正数均可开平方，故可做RRRR内可逆线性变p+1r数替换u=dz111LLLLu=dzpppup+1=-dp+1zp+1LLLLLLLu=-dzrrru=zr+1r+1LLLLLLLLLLu=znn于是二次型化作22222u+L

5、+u-u-L-u1pp+1r其中0£p£r.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型2222u+L+u-u-L-u1pp+1r2222v+L+v-v-L-v1qq+1r按命题2.2的推论，这表明在RRRR上n维线性空间V内存在一组基h，h，¼，h，使12n当a=uh+L+uh时11nn2222Q(a)=u+L+u-u-L-uf1pp+1r在V内又存在一组基v，v，¼，v，使当a=vv+L+vv时，12n11nn2222Q(a)=v+L+v-v-L-vf1qq+1r现令M=L(h，L，h)，则

6、当aÎM,a¹0时，1pa=uh+L+uh(u不全为零)。11ppi22于是Q(a)=u+L+u>0。又令N＝L（v,L,v）。则当aÎN时，有f1pq+1na=vv+L+vvq+1q+1nn22于是Q(a)=-v-L-v£0。这表明MÇN={0}。按维数公式，我们有fq+1rn=dimV³dim(M+N)=dimM+dimN=p+(n-q)这表明p-q£0，即p£q。由于p，q地位对称，同理应有q£p，于是p＝q。第二学期第二次课222．2．．．正定二次型正定二次型正定二次型：正定二次型：：：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型正定二次型正定二次型；正定二次型正定二

7、次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵正定矩阵正定矩阵；正定矩阵设A＝（a）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式ij12LrA12Lr为方阵的顺序主子式顺序主子式顺序主子式。顺序主子式定理设f是实二次型，则下述四条等价：（i）f正定；（ii）f的矩阵A=T¢T，其中T为可逆阵；3n（iii）f对应的二次型函数Q(a)>0("aÎR,a¹)0;f（iv）f的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明证明证明由命题2.2知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大