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1、第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§§§1若干准备知识1.1.1代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统代数系统代数系统。代数系统1.1.2数域的定义定义（数域）设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有a±bÎK，abÎK，且当b¹0时，a/bÎK，则称K为一个数域数域数域。数域例例例1.1典型的数域举例
2、：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={a+bi
3、a,b∈Q}，其中i=-1。命题任意数域K都包括有理数域Q。证明设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素aÎK，且a¹0。于是a0=a-aÎK，1=ÎK。a进而"mÎZ>0,m=1+1+¼¼+1ÎK。mmm最后，"m,nÎZ，，，ÎK，，，-=0-ÎK。这就证明了QÍK。。。证毕。。>0nnn1.1.3集合的运算集合的运算，集合的运算，，，集合的映射集合的映射集合的映射（集合的映射（（（像与原像像与原像像与原像、像与原像、
4、、、单射单射单射、单射、、、满射满射满射、满射、、、双射双射双射）双射）））的概念的概念定义(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集交集，记作交集AÇB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集并集并集，记做并集AÈB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集差集差集，差集记做AB。定义定义（集合的映射）设定义A、B为集合。如果存在法则f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素（记做f(a)），则称f是A到
5、B的一个映射映射映射，记为映射f:A®B,aaf(a).如果f(a)=bÎB，则b称为a在f下的像像像像，a称为b在f下的原像原像原像。原像A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像像像像，记做f(A)，即f(A)={f(a
6、)aÎA}。1若"a¹a'ÎA,都有f(a)¹f(a),'则称f为单射单射单射。若单射"bÎB,都存在aÎA，使得f(a)=b，则称f为满射满射满射。如果满射f既是单射又是满射，则称f为双射双射双射，或称一一对应双射一一对应一一对应。一一对应1.1.4求和号与求积号
7、1．．．求和号与乘积．求和号与乘积求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K上n个数a,a,L,a，我们使用如下记号：12nna1+a2+L+an=∑ai,i=1naaLa=a.12nÕii=1当然也可以写成a1+a2+......+an=∑ai,1£i£na1a2......an=Õai.1£i£n2.求和号的性质.容易证明，nnl∑ai=∑laii=1i=1nnn∑(ai+bi)=∑ai+∑bii=1i=1i=1nmmn∑∑
8、aij=∑∑aiji=1j=1j=1i=1事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：aa......a11121maa......a21222m..................aa......an1n2nm分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课第一学期第二次课第一学期第二次课§§§2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理2设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果nn-1f(x)=ax+ax+
9、......+aÎK[x],(a¹)0，则称n为f(x)的次数，记为01n0degf(x)。定理定理（高等代数基本定理）定理C[x]的任一元素在C中必有零点。nn-1命题设f(x)=ax+ax+......+a(,a¹0，n³)1是C上一个n次多项式，a01n0是一个复数。则存在C上首项系数为a的n-1次多项式q(x)，使得0f(x)=q(x)(x-a)+f(a)证明对n作数学归纳法。推论x为f(x)的零点，当且仅当(x-x)为f(x)的因式（其中degf(x)³1）。00nn-1命题命题（高等代
10、数基本定理的等价命题）命题设f(x)=ax+ax+......+a01n(a¹0，n³)1为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复0数a,a,......,a，使12nf(x)=a(x-a)(x-a)......(x-a)012n证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。2．．．高等代数基本定理的另一种表述方式．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式nn-1ax+ax+......+ax+a=0（1）01n-
