第15讲函数的基本性质（学生）

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1、第15讲函数的基本性质一、要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为偶函数。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)=f(x)或=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或=0，则f(x)是奇函数。（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称；2．单调性（1）定义：注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必

2、须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

3、数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：4．周期性（1）定义：如果存在一个常数T，使得对于函数定义域内的，都有，则称f(x)为周期函数；（2）f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。(3)设为非零常数，若对定义域内的任意恒有下列条件之一成立：①；②；③；④；⑤；⑥，则函数，是它的一个周期（上述式子分母不为零）若同时关于与对称（＜），则

4、是周期函数，是它的一个周期；若关于对称同时关于点（b,0）对称（）则的一个周期T＝；若关于（，0）对称同时关于（，0）对称，则是一个周期函数，周期T＝。【课前练习】1.已知函数=,那么是()A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数2、函数的最小值。3.的递减区间是；的单调递增区间是。4．已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如图（2-3），则关于的不等式的解集是_____________________。二、典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：（4）例2．(2002天津文.1

5、6)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－

6、f（x）

7、；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）题型二：判断证明函数的单调性及单调区间例3.（1）.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(

8、x+1

9、)的一个单调递减区间是_________（2）若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.例4．（1）已知函数=（），证明函数=在R上是单调递增函数；（2）说出函数（>0）的单调区间，并给出证明。巩固练习．已知f(x

10、)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。题型三：奇偶性与单调性的应用例5．⑴已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。⑵已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。例6．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(

11、0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。例7．已知函数为奇函数，，且不等式的解集是∪（1）求a,b,c。（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。例8．已知函数．（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．题型四：最值问题例9．①函数的定义域为，对任意实数都有，且当时，且。(1)求证:为奇函数；（2）求在区间[-9，6]上最值。②设m是实数，记M={m

12、m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。(1)证明：当m∈