第2讲函数的基本性质(竞赛)

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1、第2讲函数的基本性质一、知识要点函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图彖的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I.函数的定义设A,B都是非空的数集，/是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A-B就叫做从A到B的函数.记做），=心），其中xWA,）€B,原象集合，A叫做函数/（兀）的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CoB.II.函数的性质（1）奇偶性设函数f（x）的定

2、义域为D,且D是关于原点对称的数集.若对任意的xED,都有人一x）=—ZU）,则称f（x）是奇函数；若対任意的XWD,都有夬一兀）=沧），则称f（x）是偶函数.（2）函数的增减性设函数.心）在区间》上满足：对任意x1,x2eD,，并且W2时，总有沧1）勺匕2）（/（无1）习々2））,则称/W在区间》上的增函数（减函数）,区间D'称为7W的一个单调增（减）区I'可.III.函数的周期性对于函数./U）,如果存在一个不为零的正数T,使得当兀取定义域中的每个数时，.心+T）=/g总成立，那么称人兀）是周期函数，T称

3、做这个周期函数的周期.如果函数/W的所有周期中存在最小值To,称To为周期函数yu）的最小值正周期.二、例题选讲例］.定义在（0,+oo）上的函数/（兀）满足：对任意的x,yw（0,+oo）,f（xy）=f（x）+f（y）,且当兀>1时，f（x）>0,（1）求证：/⑴在（0,+oo）上是增函数；（2）解不等式f（x2一2兀一3）-代X+2）

4、上是二次函数，且在x=2时,函数取得最小值-5,(1)证明：/(1)+f⑷=0(2)试求y=/(x),x€［1,4］的解析式；⑶试求y=/(x),xe［4,9］的解析式；例3.若函数/⑴是周期为4的偶函数,且方程f(x)=0在区间［0,2］上有且只有1这个根，、贝IJ方程f(x)=0在区间［0,17］±所有根的和为。三、训练提升1.己知f(x)=ax5+bsin5x+1,且f(l)=5,则f(—1)=()A.3B.-3C.5D.-52.已知(3x+y)2()()1+x2(x)1+4x+y=0,求4x+y的值.

5、3・解方程：ln(Jx?+1+x)+ln(V4x2+1+2x)+3x=04.若函数y=log3(x2+ax—a)的值域为R,则实数a的取值范围是5.函数y=7x2+4x+5+a/x2-4x+8的最小值是6.已知f(x)=ax'+bx+c,f(x)=x的两根为X

6、,x2,a>0,x2—xj>—,a若OVtVxi，试比较f⑴与Xi的大小.4.设a,b,cWR,

7、x

8、

9、f(x)

10、Wl,求证:

11、2ax+b

12、<4.5.已知函数f(x)=x3-x+c定义在[0,1]±,xPx2e[0

13、,1]且X¥X2・⑴求证:

14、f(xi)—f(x2)

15、<2

16、X

17、—x2

18、；(2)求证:

19、f(xi)-f(x2)

20、

21、a

22、

23、f(x)

24、w]4⑵若f(X)max=，求a的值.8参考答案例1、点评：第(1)关键是对/(西)-/(兀)变形，为用条件，可将旺拆成两个数之积,也可将花拆成两个数Z积，但由条件“当兀>1时，/(兀)>0”知，拆更左=坷•竺方便,一-K若拆西=兀2•玉，则还需先证明：“当0VXV1时，/(兀)<0”。尤2以上解法对一般抽象函数

25、问题的解决具有指导意义。x~—2,x—3〉ox+2>0(2)彳4-x>0—2x-3v(x+2)(4-x)例2、简解：(1)因为周期为5,故/(-1)=/⑷亠一/(1)=/(4)=>/(1)+/⑷=0(2)当xg［1,4］时,设/(x)=a^x—2)2-5(a0),由f(l)+f(4)=0=Q-5+4d-5=0=所以/(x)=2(x-2)2-5(1

26、(x)=/(%-5)=-3(x-5)=-3x+15,②当"(6,9］/(x)=/(x-5)=2(x-5-2)2-5=2(x-7)2-5—3x+152(兀-7)2+5<-