女子数学奥林匹克试题

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1、2008女子数学奥林匹克第一天2008年8月15日上午8：00~12：00广东中山数学竞赛像其他竞赛活动一样，是青少年学生的一种智力竞赛.在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛活动中，数学竞赛的历史最悠久，国际性强，影响也最大.──王元1．(a)问能否将集合表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；(b)问能否将集合表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等．2.已知实系数多项式有三个正根，且．求证：.3.求最小常数，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△PAB

2、，△PBC，△PCD，△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间．4.在凸四边形ABCD的外部分别作正三角形ABQ，正三角形BCR，正三角形CDS，正三角形DAP，记四边形ABCD的对角线之和为x，四边形PQRS的对边中点连线之和为y，求的最大值.2008女子数学奥林匹克第二天2008年8月16日上午8：00~12：00广东中山我国数学竞赛活动表明，凡是开展好的地区和单位，都能大大激发学生的学习数学的兴趣，有利于培养创造性思维，提高学生的学习效率．这项竞赛活动，将健康的竞争机制引进数学教学过程中，有利于选

3、拔人才．由数学竞赛选拔的优胜者，既有踏实广泛的数学基础，又有刻苦钻研、科学的学习方法，其中的不少青年学生将来会成为出色的科学工作者．──王元5.已知凸四边形ABCD满足AB＝BC，AD＝DC．E是线段AB上一点，F是线段AD上一点，满足B，E，F，D四点共圆．作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC．求证：A，P，Q三点共线．（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）6.设正数列满足及．求正实数，使得当时，有单调性；当时，不具有单调性．7.给定一个20

4、08×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入C，G，M，O这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C，G，M，O这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的“和谐棋盘”？8.对于正整数，令．求证：数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．([x]表示不超过x的最大整数)