2007女子数学奥林匹克

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1、维普资讯http://www.cqvip.com32中等数学2007女子数学奥林匹克第一天第二天1．设m为正整数，如果存在某个正整数5．设D是△ABC内的一点，满足DACn，使得m可以表示为n和n的正约数个数=DCA=30~，DBA=60~，E是边BC的中(包括1和自身)的商，则称m是“好数”．求点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC．证：求证：舾上．(叶中豪提供)(1)1，2，⋯，l7都是好数；6．已知a、b、C>10，a+b+C=1．求证：(2)l8不是好数．(李胜宏提供)厂————一一^／口+．÷(b—c)+√b+√c≤√3．2．设△ABC是锐角三角形，点D

2、、E、FV叶分别在边BC、CA、ABk，线段AD、BE、CF(李伟固提供)经过△ABC的外心0．已知以下六个比值7．给定绝对值都不大于10的整数a、b、BDCEAFBFAECDc，三次多项式f()=+++C满足、、一FB、一FA、一EC、丽条件j厂(2+)j<0．0001．问：2+√3是否一中至少有两个是整数．求证：△ABC是等腰定是这个多项式的根?(张景中提供)三角形．(冯祖呜提供)8．n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手3．设整数n(n>3)，非负实数a，a，比赛一局．规定：胜者得1分，负者得0分，平⋯，a满足al+a2+⋯+a=2．局各得0．5分．如果赛后发现任何m

3、个棋手中都有一个棋手胜了其余m一1个棋手，也求++⋯+的最小值．有一个棋手输给了其余m一1个棋手，就称(朱华伟提供)此赛况具有性质P(m)．4．平面内n(n≥3)个点组成集合S，P对给定的m(m≥4)，求n的最小值是此平面内m条直线组成的集合，满足5关厂(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，于P中的每一条直线对称．求证：m≤n，并都有所有n名棋手的得分各不相同．问等号何时成立?(边红平提供)(王建伟提供)综上，最少取出l1枚棋子．才可能满足要求．若m。~／≤m丽，则m．≤m／rg．三、定义集合A={m~／．i}+llmEN+，kEP}．．~l，_——一由m是正整数

4、知，对i=1，2，3，4，5，满足这个由于对任意的k、iEP，且k≠i，是无理~／l+l条件的mt的个数为[m等】．数，则对任意的k．、k∈P和正整数m．、ma，ml~／kl+l=ma~／k2+l甘m1=ma，kl=k2．从而，n=[m厕,~wriJ1：，(m，．i})．注意到A是一个无穷集．现将A中的元素按从i=l小到大的顺序排成一个无穷数列．对于任意的正整因此，对任意nEN+，存在mEN+，kEP，使得数n，设此数列中第n项为m~／，．m，k)=n．接下来确定n与m、k间的关系．(王兆军提供)维普资讯http://www.cqvip.com2OO7年第12期33(

5、1)涉及同一边；(2)涉及不同的边．参考答案(1)如果同一边上的两个比值同时是整数，不妨第一天议~刀丽BD、．因它们互为倒数，又同是整数，所以，1．记d(n)为正整数n的正约数的个数．必须都取1，则BD=Dc．(1)因为p=(p=3，5，7，11，13，17)，又由于0是IXABC的外心，进而得AD是边BC的中垂线．于是，AB=AC．=，z-高，4=志，6=，(2)记CAB=口，ABC=，BCA=y．8=，9=10810=180因为／XABC是锐角三角形，所以，，，BOC=2a，COA=2，AOB=27．12=，14=252，于是，==．．15=，16=硼128，同理

6、，=，篙=．所以，1。2，⋯，17都是好数．若上述六个比值中有两个同时是整数且涉及不(2)假设存在正整数n，使得同的边时，则存在整数m、n，使得=18．①siIl2x=msln2z且s

7、n2y=，lsiIl2①则可设，l=2"o·3％．．．·砖，其中，pi(=1，2，或sin2z=msin2x且sirI2z=，lsiIl2y，②其中，、是口、、y的某种排列．⋯，)是大于3的相异质数，口o≥1，≥2，q≥1(i以下构造=1，2，⋯，)．△c，使得令口。一1=口，一2=6．显然，口≥0，6I>0．它的三个内角分由式①得别为18(，D一2a，23‘降180~一2J9，180

8、~一=(口+2)(6+3)(口+1)⋯(口I+1)．②由于对任意质数pl都有-≥毗+1，从而，(口+2)(6+3)I>23．如果6>13，则3>3(6+3)．而口≥0时，2。≥_I_(口+2)，贝42。3>要(口+2)(6+3)，矛盾．故6≤2．因此，6=2，口=0；6=1，口=0，1，2；6=0，口=0，1，2，3，4．(i)当b=2，口=0时，式②为32p~l⋯p》=lO(al+1)⋯(口+1)．(ii)当6=1，口=0，1，2时，式②为3‘2。⋯p=(口+2)(口+1)⋯(口I+1)．(iii)当6=0，口=0，1，2，3，4时，式②为啦．．口