2008女子数学奥林匹克

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1、万方数据2009年第5期212008女子数学奥林匹克第一天1．(1)问能否将集合{l，2，⋯，96}表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；(2)问能否将集合}l，2，⋯，99：衷示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等．(刘诗雄供题)2．t2知实系数多项式够(石)=似3+bx2+既+d有三个正根，且妒(0)<0．求证：263+9a2d一7abc≤0．①(朱华伟供题)3．求最小常数a(a>1)．使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△PAB、△PBC、△

2、PCD、△PDAl}I的某两个三角形．其面积之比属于区1．HJ[．z～，a]．(李伟固供题)4．在凸四边形ABCD的外部分别作iE△AeQ、△BCR、△CDS、△DAP．记pLl边肜ABCD的对角线的和为名，四边形t'Ons的时边中点连线的和为Y．求上的最大值．石(熊斌供题)第二天5．如图1，已知凸四边形脚满足AB=BC，仰=DC，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、DB四点共圆，作△·DPE．顺向相似于△ADC．作△印，顺向相似于AABC．求证：A、P、Q三点共线．注：两个三角形顺向

3、相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．(叶中豪供题)6．设正数列戈l，毒2，⋯，％，⋯满足(8省2—7xJ)菇：=8及瓢+。X'k-I一石：：务[专(后≥2)．～Xk石^一I，7求正实数o，使得当石。>a时，有单调性石l>菇2>⋯>菇。>⋯；当0<石l<口时，不具有单调性．(李胜宏供题)7．给定一个2008×2008的棋盘，棋盘J：每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入C、G、肘、D这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2X2的小棋盘中都有c、G、M、0这4个字母，则称

4、这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的和谐棋盘?(冯祖呜供题)8．对于正整数r／,，令’工=[2“俪]“24厕]．求证：数列^，^，⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数([菇]表示不超过实数戈的最大整数)．(冯祖呜供题)参考答案第一天1．(1)不能．因为321、(1+2+⋯+96)=48×97．(2)能．每个三元子集的元素和为1+2+⋯+9999×(99+1)——1r一。—1丁矿=150．将1，2，⋯，66每两个一组，分成33组，每组两数之和可以排成一个公差为l的等差数列：l+50，3+49，⋯，33

5、+34，2+66，4+65，⋯，32+51．故如下33组数，每组三个数之和均相等：{1，50，99}，{3，49，98}，⋯，{33，34，83}，{2，66，82}，{4，65，81}，⋯，{32，5l，67}．2．设实系数多项式妒(龙)=懿3+bx2+饿+d的三个正根分别为名。、茗2、茹3．侉c万方数据中等数学由韦达定理有bd茗l+筇2+石3。一‘i’髫l菇2X32一i’C筇l石2+茗2菇3+菇3石l=i。由9(0)0．不等式①两边同除以口3，则ACD铮7(一告)詈≤2(一

6、告)3+9(一詈)车亭7(石l+髫2+茗3)(菇I茗2+X2菇3+菇3石1)≤2(舅l+茗2+髫3)3+9舅lX2髫3车事髫2lx2+茗；戈3+茗；戈l+石；髫3+x2xI+石32石2≤2(菇j+菇；+石；)。②因为髫1、名2、戈3均大于O，所以，(菇l一茗2)(髫j一菇；)≥o，即算：髫2+戈i菇I≤茗；+茗i．同理，名；z3+X2X2≤省；+筇；，髫；戈I+x2x3≤髫；+并；．三个不等式相加即得不等式②，当且仅当茗l=名2=名3时，等号成立．3．O,rm--学．首先证‰血≤学．记9：12．不妨

7、设正方形边长为压．如图2，对正方形ABCD内部一点P，令Sl、S2、s3、S。分别表示△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积图2女日果A、产>妒，由Sl+S3=S2+S4=1，得量11一S2=卢，从而，S2=故s。=AS2=jl+L／z笆1+∥’=点>矗=禹乩弘妒矛盾．因此，min{A，／2t≤妒，这表明口嘲≤9．反过来，对于任意的口∈(1，妒)，取定t∈(口，学)，使得6=雨t2>吾．在正方形ABCD内取点P，使得s。=郴：=÷，s，=砉，s。=l-6．则夏SI=瓦S2=￡∈釜S=；南1>4

8、一￡2(一6)一一口．由此得到对任意的i,jE{1，2，3，4}，有缸口一，口]．这表明a嘶=妒．4．当四边形ABCD是正方形时，得Y．．石1+历下面证明：Y≤石1+以如图3，设P。、Q，、R。、S。分别是边肼、AB、BC、CD的中点，驴、PQ、QR、RS的中点分别为E、F、G、日．则四边形PlQlR。S。是平行四边形．图3S钥矿口7飞，P玎&&一&&∥≥&一是黧扯劭s令万方数据2009年第5期联结PlE、S．E．设肘、Ⅳ分别是DP、鹏的中点．则DSl=SlN=DN=