曾谨言 习题答案第六章.doc

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1、[1]质量分别为m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为：=(1)r(2)试求总动量及总角动量在,表象中的算符表示。1.[解]（a）合动量算符。根据假设可以解出，令　：　　　　　　　　　（３）　　　　（４）设各个矢量的分量是，,和。为了计算动量的变换式先求对，等的偏导数：（5）（6）关于，，，可以写出与（5）（6）类似的式子，因而：=(b)总角动量=利用（3），（4），（5），（6）：===因而[2]证明，（证明）第一式=但+=+即=同样写出关于y,z的式子，相加得：+==因是任意函数，因而第一式得证。第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数

2、，要注意标量算符而是矢量算符：=}=因此在出写出关于y,z的式子后有[3]中心力场中的经典粒子的哈密顿量是其中。当过渡到量子力学时，要换为问是否厄米算符？是否厄米算符。（解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式（）=若,则因为,,等自身是厄米的,因而有要看出,的关系将作用于任意函数：===即，因而不是厄米算符。因为利用以上结果，或者直接对取厄米共轭式，都证明因此可认为是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。　CfRLLiboff:AmericanJournalofPhysic

3、s976(1973)==CfAMessian:QuantumMecnanicsP346(1961)[4]经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？（解）=++=++=~206~物83—309蒋最后一式加上下述这个等于零的式子：得：因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。[5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。（解）本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作：（1）但是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式，此式是：(2)为使计算简单，可选择z轴与动量

4、的瞬时方向重合，这样~207将（2）中的用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，，r：=====（3）其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系：~208~物83–309蒋===(4)在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系，设动量相空间直角坐标为，，则球面极座标用表示，=（5）~209~=(6)与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得：==代入（6）得：=代入测不准关系式：[6]在动量表象中写出氢原子的

5、能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。（解）（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能为此先写下座标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）：遍乘，并对座标积分：（1）等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程：（2）得：（3）式中（4）（二）核的计算：先作（4）式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的~211~相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是：（5）（6）将拉普拉斯算符作用于两边，得：（7）根据（7）式写出它的逆变换式，并且与（5）式对比，有：=（8）将（4）（5）二式比较知道只需在中作置换，再乘（9）因此我们

6、最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。=（10）（三）动量表象中，角动量分量守恒的证明。有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表示，用前者较为简单，要证明角动量分量（例如）是守恒量，其必要条件是它可以和哈密顿算符对易，即：（11）这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜的置换来得到这种置换是：因而得到（12）至于，的动量表象依类似方法。（10）式中的哈氏算符可从（10）看出：（13）右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将填入括号（）。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的波函数上面：(14)假使能证明I=0，则因为

7、任意，我们便证明了（11），将（13）代入（14）=（15）分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的：==~214~物83—309蒋=+(16)这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。其次计算（15）式中与势能有关部分的对易式，即（15）式第二个大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始变形：==~215~(17)前一式的第一二个积分分别为对分动量和进行积分后，分别代入积分限，，如果是个三维的平方可积函数，即当时，则在代入分限后被积函数也趋于零，只剩下三