曾谨言 习题答案第五章.doc

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1、第五章：　对称性及守恒定律［１］证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：　　　　　　　　　　（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量不显含，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：　　　　　（２）此式遍乘即得待证式。［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：　　　　　　　将此

2、平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）　　　　　　　　　　　　（１）今代表的本征态，故满足本征方程式　　　　　　　　　　　　　　　（为本征值）　　　　　　（２）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积公存在）　　　　　　　（３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：　　因，而［３］设粒子的哈密顿量为　　。（１）证明。（２）证明：对于定态　　（证明）（１），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：　　　　　　　　　　　　　

3、（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）将（４）（５）代入（３），得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　代入（１），证得题给公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）　　（

4、２）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令则　　　　　　　　　　　（７）但动能平均值　　由前式　　　　　［４］设粒子的势场是的次齐次式证明维里定理（Ｖirialtheorem）　　　　　　　　　　　式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子　　　　　　　（２）库仑场　（３）（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标的次齐次式，则不论是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：　　

5、　　　　　　　　　　　　　　　（１）此处的暂设是正或负的整数，它们满足：　（定数）是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一题的结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）现在试行计算本题条件下的式子及其定态下平均值。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（２）即得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）本证明的条件只要不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用（２）式

6、加以验证。（１）谐振子：直接看出，根据（３）式知道，即　也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论　　　　　　，由（３）式可知（２）库仑场　直接看出Ｖ是的次齐次式，按（３）式有：　　　　　　但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：　　　　　　　　　　　　　　　代入（２）式，亦得到　　　　（３）场直接看出Ｖ是的次齐次式，故由（３）式得：仍根据（２）式来验证：　　　　　　　　　　由（２）得　，结果相同。本小题对于为正、负都相适，但对库仑场的奇点除外。［５］证明，对于一维

7、波包：　　　　　　（解）一维波包的态中，势能不存在故　　　　　　　　　　（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）但　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）因　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）代入（２）式，得到待证的一式。［６］求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）又对于自由粒子，有

8、（不随时间变化）令为海氏表象座标算符；代入（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）但　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）代入（２），得：　　积分得　　　　　　将初始条件时，代入得，因而得到一维座标的海氏表象是：　　　　　　　　［７］求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。（解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）解法同于前题，有关坐标的运动方程式是：　　　　　　　　　　　　　　　（２）将等式