曾谨言 习题答案第八章.doc

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1、第八章：自旋[1]在表象中，求的本征态（解）设泡利算符，，的共同本征函数组是：和（1）或者简单地记作和，因为这两个波函数并不是的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），的本征函数可表示：(2)待定常数，又设的本征值，则的本征方程式是：(3)将（2）代入（3）：(4)根据本章问题6（P．264），对表象基矢的运算法则是：此外又假设的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：比较的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：前二式得，即，或当时，代入（6a）得,再代入(6c)，得：是任意的相位因子。当时，代入

2、（6a）得代入(6c)，得：最后得的本征函数：对应本征值1对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在共同表象中，采用作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。（7）的矩阵已证明是因此的矩阵式本征方程式是：（8）其余步骤与坐标表象的方法相同，本征矢的矩阵形式是：[2]在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。（解）方法类似前题，设算符的本征矢是：(1)它的本征值是。又将题给的算符展开：(2)写出本征方程式：(3)根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，，运算法则是，，，，，（4）将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：（5）或（

3、6）（6）具有非平凡解（平凡解，）条件是久期方程式为零，即它的解（7）时，代入（6）得：（8）（1）的归一化条件是：将（8）代入（9），得：归一化本征函数是：（10）时，的关系是：归一化本征函数是：（11）是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：，，（12）(13)本征方程式是：(14)的本征矢是：,(15)补白：本征矢包含一个不定的相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。[3]在自旋态下，求和（解）是的均方偏差是，的均方偏差因此在态下，,对称，因而[4]求在下列状态下和的可能测值。（1）(1)（2）

4、(2)（3）(3)（4）(4)（解）依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数表示，在考虑到自旋的情形下，若用共同表象，则电子的态可有四种；若，有以下二态：（5）（6）若，有以下的二态：（7）（8）将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平方算符，总角动量分量算符可能测值如下：状态数值算符（1）（2）（3）（4）的量子数3/23/23/23/2的量子数3/21/2-1/2-3/2[5]令，，证明：（证明）本题的,是两个带有相加的常数分子的算符根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：假设，试将（1）式运

5、算于合成角动量的本征态（共同本征态），首先，对于有：（3）式中；。其次，可对于的本征态计算：又因为，所以[6]一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用。对能量无贡献。[解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。(1)整个体系的哈氏算符是：（此式中r是电子相对位矢）将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：(2)原子的状态可以用（）的共同本征函数表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）(3)但当原子处在自旋的单重态时，总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出

6、因此J=L，（3）式成为：所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因不含[7]设两个自旋为的粒子的相互作用为：第一项为中心力，第二项为张量力的证明：（1）宇称л、总自旋、总角动量及总的z向分角动量均为守恒量，但和不是守恒量。（2）在自旋单态下，张量力为零。（解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下：(1)但。（前一公式的来源不在本题中讨论）（1）（a）宇称：体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能(2)按§5．3（P。176）一体系若具有空间反射不交性，则其宇称是守恒的，即(3)在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能可能梯度表示。(2)式用坐标

7、显示为：(4)当参考系发生空间反射时，。但不变，此外总的自旋角动量依赖与自旋坐标和，与空间坐标无关，因而也不随空间反射而变更，又因为等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若是任意函数，我们有：即是守恒量（b）总自旋平方算符：自旋和一切轨道运动的量都能对易，只需检验与的对易性：因等，又等，因此有：（6）（c）总角动量分量：总角动量分量与轨道运动部分的诸力学算符相对易，这在第六章中心力场和第四章§4.1都有过讨论，只需证明与的势能部分的对易性就足够。又只与角度有关，与相对矢径无关，所以与一切与有关的算符对易（7）最后一式说明，归结为较简单的

8、的运算再注意到：运用两个