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1、导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。引入：试求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1试求显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。1.使用条件定理1若函数与函数满足下列条件：（1）在的某去心邻域内可导，且（2）
2、（3）则（包括A为无穷大的情形）定理2若函数和满足下列条件（1）在的某去心邻域内可导，且（2）（3）则（包括A为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：。此时就不再是不定式，不满足洛必达法则应用条件。简而言之，当满足00或∞∞的不定式时，PS：一次求导不行仍未不定式，则多次求导于是上面的两个式子可以这样解例一．limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=32此时就不再是不定式，不满足洛必达法则应用条件。例二．(此为错解)事实上，（正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也
3、可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。2.未定式的其它类型：、、、、型极限的求解此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如等待定型，由于他们都可以转化为，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值。关于如何转换，例如则是形式，这时，可以写为，这就转化为了。此外对于等不定式，可以取对数化为的形式，再运用如上方法便可转化为了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。1).形式可以写为这就转化为了2）形式（同理就简写了！！以下写法仅为记号）3）、、形式(对于此类内容切记它使用的条件，不要一味去滥用，毕竟取巧不如实干，建议过一遍手，自己推倒
4、一遍)最后一个小括号里的是答案练手时间：求（1/2）求（0）(0)[解析]相继应用洛必达法则n次，得(+∞)(0)(e)(e-1)PS.时故正解为从上面的例子可知洛必达法则的使用条件：充分不必要，下面将详细讲解洛必达失效问题3.洛必达法则对于实值函数的失效问题1）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件即引入问题中的计算解：原式=2）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件计算多次求导后出现循环三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件计算
5、正解：令，则原式=一．无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当时，用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换，下面举个例子作为比较。求解1：（运用无穷小量代替法）解2：（利用洛必达法则）=====三，夹逼定理（纯洁的人才不会想歪）法一法二：四.椭圆求导不是梦之隐函数求导(摆脱窘境)1.隐函数求导，解决一系列极值问题的大杀器。比如求y极值。我再补一句：两边求导数得到另一条曲线然后带回去解出来即可。PS.1、通常的隐函数,都是一个既含有x又
6、含有y的方程,将整个方程对x求导；2、求导时,要将y当成函数看待,也就是凡遇到含有y的项时,要先对y求导,然后乘以y对x的导数,也就是说,一定是链式求导；3、凡有既含有x又含有y的项时,视函数形式,用积的的求导法、商的求导法、链式求导法,这三个法则可解决所有的求导；4、然后解出dy/dx；5、如果需要求出高次导数,方法类似,将低次导数结果代入高次的表达式中.再给几个例子应该就懂了：例一：求导(x2)+(y2)-(r2)=0并将y2看作x的复合函数则有即2x+2yy'=0,于是得y'=-xy从上例可以看到,在等式两边逐项对自变量求导数,即可得到一个包含y'的一次方程,
7、解出y'即为隐函数的导数.例二：求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.解:将方程两边同时对x求导,得2yy'=2p,解出y'即得y'=p/y例三：求由方程y=xlny所确定的隐函数y=f(x)的导数.解:将方程两边同时对x求导,得y’=lny+xy'/y 解出y'即得.例四由方程x2+xy+y2=4确定y是x的函数,求其曲线上点(2,-2)处的切线方程.解:将方程两边同时对x求导,得2x+y+xy'+2yy'=0,解出y'即得.y'=-(2x+y)/(x+2y)（把y看作关于x的复合函数进行求导）五．拉格朗日中值定理——微分学应用的桥梁1罗尔中值
