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1、运用化归与类比思想方法解题?40?中学教研(数学)2009年运用化归与类比思想方法解题●许兴铭(萧山区教育局教研室浙江萧山311200)1高考展望1.1考点回顾所谓化归,即把所要解决的问题,经过某种转化,使它归结为另一个问题,再通过另一问题的求解,把解的结果应用于原问题,从而使原问题得以解决.化归包含3个基本要素:①化归对象,且p把什么条件或结论进行化归;②化归目标,即化归到何处去;③化归途径,即如何进行化归.要把握好这3个基本要素,必须遵循化归的原则,即是以已知的,简单的,具体的,特殊的,基本的知识与方法为基础,
2、将抽象转化为具体,复杂转化为简单,未知转化为已知,不熟悉转化为熟悉.所谓类比,即把存在着某种类似关系的2类对象,从一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些类似特征的推理形式.类比与归纳一样,是获得猜想的一种重要方法.类比是一种主观的,不充分的推理,要确立其猜想的正确性,还需要经过严格的逻辑论证.化归与类比是非常重要的数学思想方法,也是解决数学问题非常常用的思维方法.在近3年的高考中,有许多试题需要运用化归与类比思想方法来解题.1.2命题趋势每年的数学高考试题中都有l～2个创新题,以体现对创新意识的考查.
3、命题方向主要是数学主干内容中体现数学素质的试题;反映数,形运动变化的试题;研究型,探索型,开放型的试题.数学高考对学生创新学习能力的考核主要表现在:一是针对新颖的信息,情境和设问,能选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识,思想和方法,进行独立的思考,探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题;二是要求学生读懂并理解在中学教学内容中没有遇到过的新知识,新方法,然后根据这个新知识,新方法作进一步演算或推理,其目的是考查学生独立获取新知识的能力.2典例剖析例1连结球面上两点的线段称为球的弦.半
4、径为4的球的2条弦AB,CD的长度分别等于2,4,,Ⅳ分别为AB,CD的中点,每条弦的2端都在球面上运动,有下列4个命题:①弦AB,CD可能相交于点;②弦AB,CD可能相交于点Ⅳ;③V的最大值为5;@MN的最小值为1.其中真命题的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个(2008省江西省数学高考理科试题)分析从条件看,弦AB与球心0可作球的一个大圆,易得OM上AB,且OM=3,同样,弦CD与球心0也可作球的一个大圆,易得ON上CD,且ON=2.从4个命题看,前2个命题是针对2条动弦的位置可能作出判断,而后2个命题
5、实际上是求MN的取值范围.解法1化归法——将空间问题转化为平面问题.把弦AB,CD放在同一个大圆中(如图1).由于过弦AB中点的所有弦中最短的弦是AB,而CD=4>2√7=AB,因此弦CD可能过点M,这也说明弦AB不可能过点Ⅳ,故命题①是正确的,命题②是错误的.当图l点,N,0共线时,MN取到最大值5或最小值1,所以命题③和命题④也是正确的.解法2类比法——将三维空间的球类比为二维空间的圆.类比产生的问题为:"半径为4的圆的2条弦AB,CD的长度分别等于2,4,M,N分别为AB,CD的中点,每条弦的两端都在圆
6、上运动,有下列4个命题:(下略)".此题是平面几何中的常规问题,结论是显而易见的.关于求MN最值的方法还有:第5期许兴铭:运用化归与类比思想方法解题?4l?解法3轨迹法——将动点,Ⅳ从个体发展到集合研究,即动点问题轨迹化.动点,Ⅳ的轨迹分别是以3,2为半径的同心球,则当MN过球心0且在球心2侧时,取到最大值5;当MN过球心0且在球心同侧时,取到最小值1.解法4函数法——先建立MN的目标函数再求最值.由余弦定理可知M:OM2+ON2—20M?ONcos/_MON=13—12cosMON.当/MON=180.时,MN取
7、到最大值5;当LMON=0.时,MN取到最小值1.点评本题首先给出球的弦的定义,考查球,球的大圆等概念和性质,以及合情推理的能力.本题的重点是找球心,用性质,难点是利用类比圆的方法来研究动弦位置判断和求两弦中点之间距离的最值.运用类比思想或化归思想将空间问题转变为平面问题是解决此类问题的基本方法.学生在探求解题思路的过程中存在的思维障碍有:一是把两弦的位置关系停止在空间思考;二是不找球心,无法应用球的大圆的性质;三是没有运用类比思想或化归思想,将空间问题转化为平面问题.例2已知函数戈)=47,g()=+a.(1)求
8、a的值,使点(),g())到直线+Y一1=0的距离最短为;(2)若不等式{型{≤l在∈[1,4]恒成立,求a的取值范围.分析第(1)小题先用点到直线的距离公式来建立目标函数,再通过最小值求参数的值;第(2)小题是含绝对值的分式不等式,应先转化为一元二次不等式,然后根据在已知区间上恒成立列出不等式(组)求解.解(1)点到直线的距离:一j若n一5<0,则显
