第二章 第二节 函数的定义域、值域

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1、第二章第二节函数的定义域、值域题组一函数的定义域问题1.(文)(2009·江西高考)函数y＝的定义域为(　　)A.[－4,1]B.[－4,0)C.(0,1]D.[－4,0)∪(0,1]解析：求y＝的定义域，即⇒[－4,0)∪(0,1].答案：D(理)(2009·江西高考)函数y＝的定义域为(　　)A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]解析：定义域⇒－1＜x＜1.答案：C2.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)A.(0，)B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，0]∪[，＋∞)D.[0，)解析：依题意，函数的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立

2、.①当m＝0时，得3≠0，故m＝0适合，可排除A、B.6②当m≠0时，16m2－12m<0，得03或a<－1D.－1

3、函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R，当a2－2a－3＝0时，得a＝－1或3，但当a＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R，故a＝－1.答案：B5.若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是(　　)A.[，3]B.[2，]C.[，]D.[3，]解析：令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，故值域为[2，].答案：B66.对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{

4、x＋1

5、，

6、x－2

7、}(x∈R)的最小值是(　　)A.0B.C.D.3解析：函数

8、f(x)＝max{

9、x＋1

10、，

11、x－2

12、}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.答案：C7.函数y＝的最小值为　　　　　.解析：y＝＝＋.令t＝≥2，∵y＝t＋在[2，＋∞)上是增函数，故y≥.答案：8.分别求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])；(3)y＝x＋；(4)y＝.解：(1)分离变量法将原函数变形为y＝＝2＋.6∵x≠3，∴≠0.∴y≠2，即函数值域为{y

13、y∈R且y≠2}.(2)配方法∵y＝－(x－1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1].(3)换元法先考虑函数定义域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，设x＝cosθ(

14、θ∈[0，π])，则y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)，易知当θ＝时，y取最大值为，当θ＝π时，y取最小值为－1，∴原函数的值域是[－1，].(4)分离常数法y＝＝＝－∵1＋2x＞1，∴0＜＜2，∴－1＜－1＋＜1，∴所求值域为(－1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9.设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是(　　)A.(0，]B.[，]C.(，)D.[0，]解析：∵0≤x0＜，∴f(x0)＝x0＋∈[，1)B，6∴f[f(x0)]＝2(1－f(x0))＝2[1－(x0＋)]＝2(－x0).∵f[f(x0)]∈A，∴0≤

15、2(－x0)＜.∴＜x0≤，又∵0≤x0＜，∴＜x0＜.答案：C10.设f(x)＝若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是(　　)A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).答案：B11.(2010·长沙模拟)f(x)＝x2－2x，g(x)＝mx＋2，对任意x1∈[－1,2]，都存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则m的取值范围是　　　　.解析：∵x0∈[－

16、1,2]∴－1≤f(x0)≤3∴即∴－1≤m≤.答案：－1≤m≤12.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；6(2)若a＝1，c＝0，且

17、f(x)

18、≤1在区间(0,1]恒成立，试求b的取值范围.解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f