第四章 三角函数

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1、第四章三角函数一、基本概念1、角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。在理解角这个概念时，一定要注意高中阶段的角的概念已经推广了，有正角、负角、零角。角的大小的绝对值可以超过360，角的正负是用来表示旋转方向的，正角表示是沿逆时针方向旋转所成的角，负角表示是沿顺时针方向旋转所成的角。在求角的大小时，一定要注意它的正负，比如，分针从2指向3时，转过了。角的大小的比较与实数的大小比较一致，正角大于零角，零角大于负角。2、锐角与第一象限的角：锐角是指范围内的角，第一象限的角是指范围内的角，锐角一定是第一象限的角，而第一象限的角不一定是锐角，

2、第一象限的角有正角也有负角。3、钝角与第二象限的角：钝角是指范围内的角，第二象限的角是指范围内的角，钝角一定是第二象限的角，而第二象限的角不一定是钝角，第二象限的角有正角也有负角。4、轴线角：是指终边落在坐标轴上的角，轴线角不属于任何象限。终边落在x轴上的角的集合是；终边落在x轴的正半轴上的角的集合是；终边落在x轴的负半轴上的角的集合是；终边落在y轴上的角的集合是。终边落在y轴的正半轴上的角的集合是；终边落在y轴的负半轴上的角的集合是；终边落在坐标轴上的角的集合是5、任意角的六种三角函数其中：是角终边上任意一点，是点P到原点的距离第四章三角函数第8页6、三角

3、函数线：是指在单位圆中表示三角函数值的一些有向线段。设角的终边与单位圆相交于点，过作x轴的垂线，垂足为。单位圆与x轴相交于点，过点作x轴的垂线。的终边或终边的反向延长线与过的x轴的垂线相交于，则。其中都是有向线段，若指向与坐标轴的正方向一致则为正，指向与坐标轴的正方向相反则为负。三角函数线可用来比较三角函数值的大小和解三角不等式。7、周期函数、周期、最小正周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T叫做函数f(x)的周期，如果周期中存在一个最小的正数，那么这

4、个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期。注意：①周期是不能为零的，否则任何一个函数都是周期函数，这是不可能的。②式子f(x+T)=f(x)是对定义域内x的每一个取值都成立的，即在定义域内f(x+T)=f(x)是恒成立的，不是针对某一个或某一些x而言的。比如，虽然有，但并不是正弦函数，的周期。③并不是每一个函数都是周期函数，周期函数只是函数大家族中的一小部分。④若一个函数是周期函数，周期存在，但不一定存在最小正周期，比如常量函数，任何一个非零的实数都是它的周期，但周期中没有一个最小的正数，故而常量函数没有最小正周期。⑤当T是一个函数的周期时，那么且都是这个

5、函数的周期，即有f(x+nT)=f(x)。比如是正弦函数，的周期，那么等等都是正弦函数，的周期。⑥周期函数的定义域一定是一个无限集（不一定是R）；它的图象是呈现周期性变化的，它的函数值是按照一定规律不断重复取得的。⑦根据周期函数的定义，不难得出如下结论：若，则函数的周期；若，则函数的周期；若，则函数的周期。若函数有两条对称轴，则函数一定是周期函数，且若函数有两个对称中心，则函数一定是周期函数，且第四章三角函数第8页特别要注意：当一个函数既是奇函数又存在除原点外的其它对称中心，或既是偶函数又存在除y轴外的其它对称轴，则这样的函数一定是周期函数，其周期等于对称中

6、心到原点的距离，或对称轴到y轴的距离的2倍。8、奇函数和偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，则称f(x)为这一定义域内的奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。注意：①根据奇、偶函数的定义可知，奇函数和偶函数的定义域都是关于原点对称的对称区间，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件。②在判断一个函数是奇函数或偶函数时，首先应该看该函数的定义域是否关于原点对称，其次再看是否有或成立。③在看函数是否具有或时，有时也可计算的值是否为零.④奇函数的图象关于原点对称；偶函数的

7、图象关于y轴对称；反之，若一个函数的图象关于原点对称，则此函数一定为奇函数，若一个函数的图象关于y轴对称，则此函数一定为偶函数。⑤定义在R上的奇函数一定有，但是满足的函数不一定是奇函数。二、基本公式和结论1、与终边相同的所有角可表示为：或注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角终边一定相同。2、“到的角”包括但不包括；“~的角”包括也包括3、4、弧长公式：。在弧长公式中角的单位一定要用弧度。5、扇形面积公式：6、三角函数符号法则：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”。即是说第一象限的角的三角函数值全为正，第二象限只有正弦值（及其倒数余割）为正，第三象限只有两种

8、切函数为正，第四象限只有余弦（及其倒数正割）为正。第