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2009年高考湖南文科数学试题及全解全析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的值为【D】A．B．C．D．解:由,易知D正确.2．抛物线的焦点坐标是【B】A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）解:由,易知焦点坐标是，故选B.3．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【C】A．13B．35C．49D．63解:故选C.或由,所以故选C.4．如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则【A】A．B．C．D．图1解:得，故选A.或.beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【B】A．14B．16C．20D．48解:由间接法得，故选B.6．平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【C】A．3B．4C．5D．6解:如图，用列举法知合要求的棱为：、、、、，故选C.7．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数ababaoxoxybaoxyoxyb在区间上的图象可能是【A】yA．B．C．D．解:因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A.注意C中为常数噢.8．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数。当=时，函数的单调递增区间为【C】A．B．C．D．解:函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.解:设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故.注：最好作出韦恩图！10．若，则的最小值为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:，当且仅当时取等号.11．在的展开式中，的系数为6(用数字作答).解:，故得的系数为12．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120.解:设总体中的个体数为，则13．过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为2.解:,14．在锐角中，则的值等于2，的取值范围为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:设由正弦定理得由锐角得，又，故，15．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore ，.图2解:作,设，,由解得故三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（每小题满分12分）已知向量（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若求的值。解：（Ⅰ）因为，所以于是，故（Ⅱ）由知，所以从而，即，于是.又由知，，所以，或.因此，或17．（本小题满分12分）beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.解:记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.mP=18．（本小题满分12分）如图3，在正三棱柱中，AB=4,,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面.又DE平面，故平面⊥平面.（Ⅱ）解法1:过点A作AF垂直于点,连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E==4,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m,.即直线AD和平面所成角的正弦值为.解法2:如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为.19．（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore （Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解:（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.（ⅰ）当c12时，，此时无极值。（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.当x＜时，，在区间内为增函数；当＜x＜时，，在区间内为减函数;当时，，在区间内为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由得.于是.当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解:（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知，所以beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 故椭圆C的方程为.（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，由得.……①由解得.……②因为是方程①的两根，所以，于是=，.因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为即亦即w.w.w.k.s.5.u.c.o.mbeconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 解得，此时②也成立.故直线斜率的取值范围是21．（本小题满分13分）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则称数列为数列.（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：①数列是B-数列,②数列不是B-数列;B组：③数列是B-数列,④数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m==所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列.（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，.beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore 由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有,即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有.因为.记，则有.因此.故数列是B-数列.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mbeconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore
