第二十七章 相似

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1、第二十七章相似本章小结小结1本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两

2、个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识

3、相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三

4、角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12

5、+4＝16，CE=12－4＝8．又∵，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证转化为证明△CDE∽△CAB.专题2乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。例2如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证．分析欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘

6、即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了．证明：延长FG交AB于K，连接DK，∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴EF＝CF．∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，∴Rt△FDC≌Rt△EKF，∴KF＝DC，∠3＝∠4，∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，∴DK⊥AB，∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．①∵GK∥BD，∴△AKG∽△A

7、BD，∴．②在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③由①×②×③，得．例3如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证.分析原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可．证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x作

8、CE平分∠BCA，交AB于E，在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，∴△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，又∵DE＝EC，∴AD＝CE．在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠