几类矩阵方程数值解法的研究

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1、摘要在科学计算与工程应用领域，如核能工业、石油工业、电路计算机辅助设计和分析、偏微分方程数值解、图像处理等，许多问题的计算最后往往归结为大规模矩阵方程的求解，而这也恰恰是计算中最耗时的部分．因此，设计求解大型矩阵方程的有效算法是科学计算领域一个非常重要的课题．本文主要研究三类矩阵方程的快速迭代解法．这三类矩阵方程分别为对称代数Riccati方程，非对称代数Riccati方程以及形式为AXB=C的矩阵方程，其中对称代数Riccati方程产生于控制论、图形理论等领域，非对称代数Riccati方程主要产生于迁移理论、Mar

2、kov链、应用概率等领域．而AXB=C型方程作为耦合Sylvester方程∑4ux，B玎=C，(i=1,---,聊)的一个特例，在信号图像处理等J=1领域中有着重要应用．这三类矩阵方程作为近年来数值代数领域研究的热点问题，产生了许多新的迭代求解算法并得到了广泛的研究和应用．本文对这三类矩阵方程采用不同的技术，分别进行考虑，或在其各自已有的算法的基础上进行拓展与加速，或采用学界最新的迭代技术对方程进行考虑．具体而言，本文首先考虑求解在迁移理论中生成的非对称代数Riccati方程的最小正解，提出了一种新的修正牛顿方法，该

3、方法通过求解X=T。(“v，)的最小正解得到矩阵最小正解．其次，利用非精确牛顿法迭代法求解对称Riccati方程的最大半正定解，该方法内迭代使用加倍迭代算法求解每一牛顿迭代步产生的Lyapunov方程，并通过控制内迭代步数得到单调收敛性．最后，考虑数值求解线性矩阵方程AXB=C，给出了一个新的求解算法，该方法基于埃尔米特与反埃尔米特分裂，该方法是解线性方程组Ax=b的HSS迭代方法的一种推广．本文共分五章，组织如下：第一章介绍了求解这三类矩阵方程数值解的迭代法的研究背景、研究现状及相关预备知识，同时介绍了本文的主要研

4、究内容．第二章考虑数值求解迁移理论中生成的非对称代数Riccati方程的最小正解．根据这种代数Riccati方程的结构以及其特殊的参数形式，通过计算向量方程II摘要x：T。f甜vr)的最小正解，可以得到该方程的最小正解．通过设计一种新的修正牛顿法来解这个向量方程，从而得到原代数Riccati方程的最小正解．该方法较一般牛顿迭代有更快的收敛速度和类似的运算复杂度．第三章考虑用不精确牛顿法求解对称代数Riccati方程的数值解．利用加倍迭代算法作为内迭代法，外迭代为牛顿算法，从而给了一个新的求解算法，通过控制内迭代残量约

5、束条件，证明了该类算法的单调收敛性．第四章提出一种解线性矩阵方程AXB=C的迭代算法，本方法是解线性方程组Ax：b的HSS迭代方法的一种推广．给出了这种方法收敛的充分条件，同时得到了最佳参数的选取方法．第五章对全文的工作进行了总结，并对今后的研究方向作了一些展望．关键词：矩阵方程；代数Riccati方程；AXB=C；迭代法；收敛性ABSTRACTThesolutionsoflargematrixequationsarecentraltomanynumericalsimulationsinscienceandengin

6、eering，suchasthenuclearpowerindustry，petroleumindustry，thedesignandcomputeranalysisofcircuits，PDEs，andimageprocessing，whichisalsooftenthemosttime-consumingpartofacomputation．Therefore，derivingtheefficientiterativealgorithmsforsolvinglargematrixequationsisanimpo

7、rtantprojectinscientificandengineeringcomputationfield．Inthisdissertation，Istudythefastiterativealgorithmsforsolvingthesolutionsof3classesofmatrixequations，whichCanberecognizedassymmetricalgebraicRiccatiequations，nonsymmetricalgebraicRiccatiequationsandthematri

8、xequationAXB=C．ThesymmetricalgebraicRiccatiequationsariseintheareasofcontroltheory，monographtheory，etc．ThenonsymmetricalgebraicRiccatiequationsarisemainlyintransporttheory，M