矩阵方程的数值解法开题报告

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1、开题报告矩阵方程的数值解法一、选题的背景、意义1.选题的背景在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态

2、,耐受各种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。1.1.2选题的意义随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值．所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。本文主要介绍

3、了解矩阵方程的高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法。在这些方法的基础上，利用matlab软件，快速求出矩阵方程的解。通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。MATLAB在提供强大的计算功能，也为我们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。1.1.3求解线性方程组由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。记线性方程组为（1）这里（）为方程组的系数，（）为方程组自由项。方程组（1）的矩阵形式为

4、其中，，，实际应用中，主要处理实数情形的方程组，即，。如果系数矩阵的行列式不为0,则可根据Gramer(克兰姆）法则知上述方程组存在唯一解（）其中，。由此可知利用Gramer法则求解一个阶方程组需要计算个阶行列式,若阶行列式通过行列式的展开定理来计算,则其计算量不低于次乘法,因此,Gramer法则求解一个阶方程组的工作量不少于次乘法运算.由此可见Gramer法则是不实用的,不是面向计算机的算法,必须研究其它数值方法。解上述线性方程组数值的数值方法主要有如下两类:(1)直接法:就是在没有舍入误差的情况下,通过有限步的四次运算

5、可以求得方程组准确解的方法,但由于实际计算中舍入误差是客观存在的,因而使用此类方法也只能得到近似解。(2)迭代法:就是先给出解的一个初始近似值,然后按一定的法则逐步求各个更准确的近似解的方法,因此是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。1.1.4求解矩阵方程记矩阵方程组AX=B则=已知A,B,求X;第一步，=，（）其中，，；第二步，=，（）中，，；依次类推，可分别得到（；）；，二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1矩阵方程AX=B有解的判定定理1.矩阵方程AX=B有解的充要条件是：证明：将矩阵B及X按列分块,于是方程可以

6、写成.：即AX=B有解A的列向量组与（A,B）得列向量组等价于。推论1：若AX=B有解，则（1）时，方程有唯一解；（2）时，方程有无穷解。2.2线性方程组的一些常用数值算法2.2.1Guass消去法Gauss消去法主要包括两个过程:消元过程和回代过程。具体如下:⑴化一般方程为三角方程(消元过程)考虑矩阵方程方程其中，。设，令。构造Gauss矩阵，用左乘得，从而具有下列形式：，其中一般地，如果已经利用Gauss矩阵得到则当时，取，就有其中如此继续下去。最后，当时得到其中，而。称这一过程为消元过程。⑵解上三角方程组(回代过程)

7、给定三角形方程组其矩阵形式为其中当U非奇异，即（）时，给定三角形方程组容易求解。可以首先求出，然后依次求出。在消元法中这种依次把后一方程结果代入前一方程，从而将解逐个求出的方程，称为回代过程。回代过程可用下面的递推形式实现：；Gauss消元过程和回代过程两者合起来组成解方程组的Guass消去法。但需要注意的是，以上Gauss消去过程是在假定（)的条件下，才得以按顺序完成消元计算。因此，上述消元过程准确称为顺序Guass消去法。2.2.2迭代法(1)Jacobi迭代法考虑矩阵方程AX=B,（1）其中A是非奇异的，B为已知矩阵

8、。第一步把A转化为A=D-L-U,（2）其中D=diag(),-L,-U分别为A的严格上、下三角部分构成的三角形。当D非奇异，即时，利用（2）式，可将矩阵方程写成(3)于是可得迭代格式(4)称此格式为求解矩阵方程（1）的Jacbi迭代法。，首先取k=0,1,2，当时迭代终止，得到，即可知道矩阵X。(2)