矩阵方程的数值解法文献综述

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1、文献综述矩阵方程的数值解法一．前言部分在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态,耐受各

2、种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和应用价值。本文主要考虑形如的矩阵方程的数值解法，其中由于线性方程组，其中，是矩阵方程的一

3、个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法，如高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法，推广用来解矩阵方程。在这些方法的基础上，利用matlab软件编程快速求出矩阵方程的解，并比较各种方法的优劣。解上述线性方程组数值的数值方法主要有如下两类:(1)直接法:就是在没有舍入误差的情况下,通过有限步的代数运算可以求得方程组准确解的方法,但由于实际计算中舍入误差是客观存在的,因而使用此类方法也只能得到近似解。(2)迭代法:就是先给出解的一个初始近似值,然后按一定的法则逐步求

4、各个更准确的近似解的方法,因此是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。传统的直接法方法有高斯消去法和它的一些变形．在这些方法中，我们可以通过有限步计算来求得线性方程组的准确解．但对于大型系数矩阵A，在利用高斯消去法求解时就会破坏A的稀疏性，从而增加计算难度和存储空间，因此需要探究A的一些结构性质，减少或避免同零元素的乘积，从而节省计算机的存储空问。随着科技的发展，线性方程组的规模越来越大，以至于用直接法很难来求解，因此，人们越来越重视迭代方法的应用．迭代方法主要有两大类；一类为古典迭代法，常见的方法有Jacob

5、i迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法；另一类为投影方法，即Krylov子空间方法．MATLAB是一种数值计算环境和编程语言，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示功能，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单。二、主题部分2.1矩阵方程AX=B有解的判定定理矩阵方程AX=B有解的充要条件是：证明：将矩阵B及X按列分块,于是方程可以写成.：即AX=B有解A的列向量组与（A,B）得列向量组等价于。

6、推论若AX=B有解，则（1）时，方程有唯一解；（2）时，方程有无穷解。本文主要讨论矩阵方程AX=B有唯一解时的几种数值算法。2.2线性方程组的一些常用数值算法2.2.1顺序Guass消去法[3、10]Gauss消去法主要包括两个过程:消元过程和回代过程。具体如下:⑴化一般方程为三角方程(消元过程)记线性方程组为（1）这里（）为方程组的系数，（）为方程组自由项。方程组（1）的矩阵形式为其中，，，设，令。构造Gauss矩阵，用左乘得，从而具有下列形式：，其中一般地，如果已经利用Gauss矩阵得到则当时，取，就有其

7、中如此继续下去。最后，当时得到其中，而。称这一过程为消元过程。⑵解上三角方程组(回代过程)给定三角形方程组其矩阵形式为其中当U非奇异，即（）时，给定三角形方程组容易求解。可以首先求出，然后依次求出。在消元法中这种依次把后一方程结果代入前一方程，从而将解逐个求出的方程，称为回代过程。回代过程可用下面的递推形式实现：Gauss消元过程和回代过程两者合起来组成解方程组的Guass消去法。但需要注意的是，以上Gauss消去过程是在假定（)的条件下，才得以按顺序完成消元计算。因此，上述消元过程准确称为顺序Guass消去

8、法。2.2.2迭代法令A=M—K(2.1)是系数矩阵A的一个分裂且M是非奇异的，则由分裂可以得到即则我们可以得到下面的迭代序列(2.2)其中称为（2.2）的迭代矩阵，是任意给定的n维列向量，称为初始向量．如果向量序列收敛，即，则就是线性方程组（1.1）的唯一解．由于迭代序列(2.2)中的线性依赖于(就其分量而言)，而不明显依赖于且迭代矩阵兄保持不变，所以称迭代格式(2.2)为一阶线性定常迭代格式．对