趣味数学：河内塔问题

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1、河内塔问题在小学数学四年级上册（人教版）第120页有一道思考题“河内塔问题”。教参对这道题的解法做了一些简要的说明。网上也能查到一些相关的文章，不过大都比较专业不大好懂。其实，这道题源于印度的一个古老传说。我最早是从美国著名理论物理学家科普作家乔治·盖莫夫的名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中读到的，内容挺引人入胜，在此，推荐给有兴趣的网友。“在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。每根针像韭菜叶那样粗细。梵天（印度教的主神勃拉玛）在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上放下了由大

2、到小的64个金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面。当所有的64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。”课本安排了经过简化的这样一道题目，是想让学有余力的学生初步感知一下化归这种数学思想方法，用意很好。不过我觉得，倒不如先以阅读的形式或者听老师讲故事的形式，让学生对问题的全貌有所了解，借以引起学生的兴趣，再让学生从移动1

3、个金片开始，去探究其中的规律。(1)如果①号针上只有1个金片。把金片移到③号针上只需要移1次；3/3(2)如果①号针上有2个金片。先把小金片移到②号针上，再把大金片移到③号针上，再把小金片移到③号针上，总共需要移3次；(3)如果①号针上有3个金片。像(2)那样(针号稍有改变)，先把上面的2个金片移到②号针上，需要移3次。再把最后1个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的2个金片移到③号针上又需要移3次。总共需要移3＋1＋3＝7次；(4)如果①号针上有4个金片。先把上面的3个金片移到②号针上，需要移7次。再把最

4、后1个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的3个金片移到③号针上又需要移7次，总共需要移7＋1＋7＝15次。这时，可以引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，结合上面的实践，猜想和探究其中隐藏的规律。因为学生在三年级下期课本第18页的思考题中，已经对数列：4，8，16，32，（　　）和2，5，11，23，47，（　　）有过先找规律后填数的经验。相信经过老师的启发和引导，学生完全能够发现数列1，3，7，15的规律是：后一项总是比前一项的2倍多1。这时，老师要不失时机地鼓励学生按照自己发现的规律，接着

5、把金片的数目增加下去。随着金片移动次数的急剧增大，学生的情绪一定会越来越强烈。到了适当时机，老师可以告诉学生：按照梵天的法则移动64片金片，需要移动18446744073709511615次。然后，再向学生提出一个新问题：假如僧侣们每秒钟移动一次金片，夜以继日废寝忘食地照这样干下去，需要干多少年？可以要求学生只列出算式。因为一年有60×60×24×365秒，所以需要18446744073709511615÷(60×60×24×365)年。最后，老师宣布答案：大约需要5846亿年！相信学生一定会在一片惊呼中，极大地提

6、高对数学的认识和兴趣。然后顺便指出：根据科学家的研究，太阳的寿命最多还有100～150亿年，5846亿年远远大于这个数，可见印度传说仅仅是一个传说而已。另外，建议不妨把这道题提前到第1单元“大数的认识”末尾，这样做有两个好处：一是可以增加学生对大数的认识；二是可以使学生知道，像有关这样大的数的计算，一般计算器也无能为力，还要使用更为精密的计算工具，从而加深学生对科学技术的认识和向往，这无疑对学生的可持续发展是有好处的。3/3最后，还想给人教社提个建议：即使仍然保持现在这个样子，不提贝拿勒斯圣庙的事，最好也不要用“河

7、内塔问题”这个题目。一是因为“问题”这种名称太严肃了，不如换成“游戏”（本来把几个珠子移来移去的，对孩子来说就是游戏嘛）；二是因为这个题目容易引起误解：“河内塔”是不是越南首都河内的一座塔呀？（开玩笑）不妨换成“汉诺塔游戏”，其实“河内”就是“汉诺”的另一种音译。“汉诺塔游戏”倒是在电脑程序设计中有它的一席之地。不知编辑同志意下如何？3/3