【备战高考理科数学试题】高考数学二模试卷（理科）（解析版）

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河北省〃五个_名校联盟"高考数学二模试卷(理科)一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求1.已知i是虚数单位，若z(l+i)二1+引，则z=()A•2+iB•2・iC•・1+iD.•1•i2・已知全集U二{1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),aGA},则(CuA)n((CuB)=()A・{1z3}B.{5,6}C・{4,5,6}D.{4,5,6,7}3・已知命题p,q是简单命题，则Jp是假命题〃是〃pvq是真命题〃的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C・充要条件D.既不充分又不必要条件4•某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为寺，两次闭合后都出现红灯的概率为+,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为A-ToCfD-i7T5・已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x±z则sin(26+—)二()3-皿3-皿4-奶4-炳101010106•设函数彳(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)二log3(x+l),g(x),x<0，则g[f(・"()A・・1B.・2C・1D.2 兀7•函数f（x）=sinoox（b>0）的图象向右平移辽个单位得到函数y=g（x）的图象,并且函数g兀JT7T兀（X）在区间［肓,手-］上单调递增，在区间［亏^迈"］上单调递减/则实数3的值为（）A・*B-"I*C・2D.号（x-y-l^O8・设变量x,y满足约束条件x+y>0,则z=x・2y的最大值为（）x+2y-4〉0A.・12B.-1C.0D.号9•秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提岀的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2,则输出v的值为（）10•如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画岀的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）11・已知椭圆C:手+£=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2二4上有 的取值范围是()Tn,若Tn>tn2对nWIT恒成立，则实数t的值范围是一动点P,P不同于A,B两点，直线PA与椭圆C交于点Q,A・(・oo,・|)U(0,|)B.(・ooz0)U(Of|)C.(・8,-1)u(0z1)D.(・oo,0)U(0,1)12・若关于x的不等式xex・2ax+a<0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是()A•［总，知B.［養,£)C.［洽,e］D.厝,e］二填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.9113・已知正实数x,y满足2x+y=2,贝并+三的最小值为・Ky14・已知点A(lz0)zB(lzV3)，点C在第二象限,且zAOC二150。，oc=・40A+A0B,贝！J入15・在平面直角坐标系xOy中,将直线y=x与直线x=l及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥二S；nx2dx=^x3|•据此类比：将曲线y=2lnx与直线y"及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V二.16・已知数列｛aj的前n项和为Sn,Sn=n2+2n,bn=anan+icos(n+1)tt,数列｛bj的前n项和为三.解答题：本大题共70分，其中(17)-(21)题为必考题f(22)f(23)题为选考题•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤・17・在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(I)求角A的大小；(口)若c=V2,角B的平分线BD二貞，求a.18・空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级，0~50为优；51~100为良101・150为轻度污染;151・200 为中度污染；201~300为重度污染;>300为严重污染・一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图・(I)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI<100)的天数;(按这个月总共30天)(n)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为E,求E的概率分布列和数学期望.19・如图，在梯形ABCD中，ABllCD,AD=DC=CB=1,zBCD=120°,四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE二2BF二2,平面BFED丄平面ABCD.(I)求证：AD丄平面BFED;(n)在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为箸.若存在，求出点P的位置；若不存在,说明理由・E220・已知椭圆Ci：青a(a>b>0)的离心率为爭，P(1)是Ci上一点.(1)求椭圆Ci的方程;(2)设A,B,Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线I交G于异于P、Q的两点C,D,点C关于原点的对称点为E•证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.21・已知函数f(x)=alnx+^x2-ax(a为常数)有两个极值点・ (1)求实数a的取值范围；(2)设f(X)的两个极值点分别为X1,X2,若不等式f(X1)+f(X2)2m的解集为R・(I)求m的最大值；(n)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此时a,b,c的值. 河北省〃五个一名校联盟"高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求1.已知i是虚数单位，若z(14-i)=14-31,则z=()A.2+iB.2・iC.・l+iD.・1・i【考点】复数代数形式的乘除运算・【分析]直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由z(l+i)=l+3i/得=2+i,一l+3i_(l+3i)(l-i)_4+2i(i+i)(i-i)二22・已知全集U={l/2/3z4z5/6/7}/集合A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),aeA},则(CuA)n((CuB)=()A・{1,3}B.{5,6}C.{4,5,6}D•{4,5,6,7}【考点】交、并、补集的混合运算・【分析】求解集合B,[uA,[uB.根据集合的基本运算即可求(CuA)A([uB)【解答】解：全集U二{1,2,3,4,5,6,7},集合A二{1,3,7},・•・[uA={2,4,5,6}集合B={|x=log2(a+1),aGA},当a=l时，B={x|x=log2(2+1)=1,当a=3时，B={x|x=log2(3+1)=2, 当a二7时，B={x|x=log2(7+1)=3,.•集合B二{1,2,3},・•・[uB={4,567},故得(【uA)仃((uB)二{4,5,6}故选C.3・已知命题p,q是简单命题，则〃「p是假命题"是"pvq是真命题"的()A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断・【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可・【解答】解：「p是假命题，则p是真命题，推岀pvq是真命题,是充分条件,反之Z不成立，故选：A.4•某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为寺，两次闭合后都岀现红灯的概率为寺，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A—B—C—D—1055*2【考点】相互独立事件的概率乘法公式・【分析】设〃开关第一次闭合后出现红灯〃为事件A,〃第二次闭合出现红灯"为事件B,则由题意可得P(A)二*,P(AB)二*,由此利用条件概率计算公式求得P(B/A)的值・ 【解答】解：设〃开关第一次闭合后出现红灯"为事件A,〃第二次闭合出现红灯〃为事件B,则由题意可得P(A)=|zP(AB)=|z则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是:P(B/A)=P(AB)5P(A)_T故选：C・7T5・已知角。的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x±z则sin(26+—)二:)3-Sr3-炳4-如4-如'.10.■10.10•■10【考点】两角和与差的正弦函数・【分析】根据定义求解sine和cose的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解岀答案.【解答】解：由题意,已知角e的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y二取上,可知e在第一或第三象限.根据正余弦函数的走义：可得sine二±耳£,cose二士警,(1-2sin2B910贝［Jsin(20+-y-)二sin20cos-^-+cos20sin-^-=sinOcose+孚仃OgqG+l).6•设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)h.(Jx0)的图象向右平移誇个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间［晋,辛］上单调递增,在区间今］上单调递减，则实数co的值为()A.fB.孕C.2D.各424【分析】根据平移变换的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间［晋，今］上单调递增，在区间［牛，斗］上单调递减可得x二斗时【考点】函数y=Asin(3x+(p)的图象变换.,g(x)取得最大值，求解可得实数3的值・兀兀【解答】解：由函数f(X)=sinujx(CT>0)的图象向右平移迈个单位得到g(x)=sin［u)(x—)］=sin3兀、(wx-p-),TT31TUTTJL函数g(x)在区间［云，三］上单调递增，在区间［丁，三］上单调递减，可得x=w时，g(x)取得最大值/兀3兀、兀■rc即(U)x——)二-^i2k兀,kez,b>0.当k=0时，解得：3=2. x-y-1^08・设变量x,y满足约束条件•x+y>0,则z=x・2y的最大值为()Ix+2y-4>0A.・12B.-1C.0D.［考点］简单线性规划.【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z二x-2y的最大值・x-y-l^O【解答】解：满足约束条件］x+y>0的可行域如下图所示:鳥"可得c（M）由:｛；臨0,可得ALM）,由肚鳥可得叭2d）‘当x=2,y=].时，z=x-2y取最大值0.故选：C・9•秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提岀的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2,则输出v的值为（） ▼%i10">■V-V•*Y：；1f上“•1A.RO・1B.2ioC.却0・1D.310【考点】程序框图・【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：输入的x=2,v=l;k=l,满足进行循环的条件,v=2+Cio1,k二2,满足进行循环的条件，v=22+2Cio1+Cio2,.•,v=2io+29Cio1+...+Ciolo=310,故输出的v值为：齐0,故选D.10•如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）1WB得脚A-3C-3D.4【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P・ABCD.【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P・ABCD.连接BD.其体积V=Vb-PAD+Vb-PCD=yXyXlX2X2+yXjXlX2X2_£=7・故选：B.2210-已知椭圆C：V+T=1的左'右顶点分别为A，B,F为椭圆C的右焦点‘圆厲2“上有一动点P,P不同于A,B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则严的取值范围是（）333A・(-ooz・|)U(0,|)B.(-ooz0)U(0，!)C・(・oo,・1)U(0,1)D.(-ooz0)U(0,1)【考点】圆与圆锥曲线的综合・【分析】特殊点P(0,2),P(0,・2)求岀詈,利用排除法,可得结论•【解答】解：特殊点P（0,2）,则PA方程为y二x+29919与椭圆方程联立，可得7x?+16x+4=0=0,所以x=・2或诗，所以Q（诗，年）， kpB二・1/kQF二~上一17kpb2•応百•kpR3同理取P(0,-2),说二-1.根据选项，排除A,B,C,10•若关于x的不等式xex-2ax+a<0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是(【考点】函数恒成立问题・【分析】设g(x)二xexzf(x)=2ax・a,求岀g(x)的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于(m,n),求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a,再由题意可得当x=-1时，求得a,通过图象观察，即可得到a的范围・【解答】解：设g(x)=xexzf(x)=2ax・a,由题意可得g(x)二xi在直线f(x)=ax-a下方，g1(x)=(x+l)exzf(x)=2ax-a恒过定点(寺，0),设直线与曲线相切于(m,n)可得2a二(m+1)emzmem=2am-az消去a,可得2m2・m・1=0,解得m=l(舍去)或•寺,11则切线的斜率为2a=(-|+l)e解得a恋， 又由题设原不等式无整数解,由图象可得当X二时，g(-l)=-e-f(・1)=-3az由“-l)=g(・1)，可得a二备，由直线绕着点(士0)旋转，可得診＜品一.填空题：本大题共4小题,每小题5分■共20分，把答案填写在题中横线上.91亠913・已知正实数x,y满足2x+y二2,贝^+―的最小值为_空_・【考点】基本不等式・【分析】利用〃乘1法"与基本不等式的性质即可得出・【解答】解：•••正实数x,y满足2x+y=2,则f+y=i(2x+y)(手片)=寺(5弓€)詰(5+2X2X存§)二号,当且仅当x二y-|时取等号・的最小值为£・故答案为：鲁・14.已知点A(l,0),B(1,馅)，点C在第二象限，且zAOC=150°,0C=・4玉+入丽，贝臥【考点】平面向量的基本定理及其意义• 【分析】根据向量的基本运算表示出C的坐标,利用三角函数的定义进行求解即可.【解答】解:•・•点A(1,0),B(l,馅)，点C在第二象限,OC=-40A+A0B,/.C(A-4,V3入)，•/zAOC=150°,••伽150。=髡-鲁,解得入二：L・故答案为：1.15•在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x二1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到—个圆锥,圆锥的体积V圆锥二fJnx2dx=y-x3|•据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=l及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V-n(e-l).【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；棱柱、棱锥、棱台的体积•【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积・y【解答】解：由曲线y=2lnx,可得x=J,根据类比推理得体积V=feydy=ney|；=tt(e-1),故答案为:n(e-l).16・已知数列｛aj的前n项和为Sn,Sn=n2+2n,bn=anan+icos(n+1)tt,数列｛bj的前n项和为Tn,若Tn>tn2对nWN*恒成立，则实数t的取值范围是(・8,・5]・ [考点]数列递推式.【分析】n二1时,ai=3・nn2时zan=Sn-Sn-i,Rj^an=2n+1.bn=anan+icos(n+1)tt=(2n+l)(2n+3)cos(n+1)n,n为奇数时，cos(n+1)n=l;n为偶数时,cos(n+1)n=-1.对n分类讨论,通过转化利用函数的单调性即可得出・【解答】解：n二1时，ai=3."2时zan=Sn-Sn-i=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+l.n二1日寸/.*.an=2n+1..••bn二anan+icos(n+1)tt=(2n+l)(2n+3)cos(n+1)ti,n为奇数时,cos(n+1)n=l;n为偶数时,cos(n+1)n=-1.因此n为奇数时Jn=3x5-5x7+7x9-9xll+...+(2n+l)(2n+3)=3x5+4x(7+ll+...+2n+l)二15+4x-(也气念二。二2M+6n+7・Tn>tn2对nWIT恒成立,.*.2n2+6n+7>tn2,t<~y+-^-+2=7(■^•+y)2+y-,/.t<2.n为偶数时，Tn=3x5・5x7+7x9-9xll+...・(2n+l)(2n+3)=-4x(5+9+ll+...+2n+l)=•2n2-6n・/.Tn>tn2对nGN勺叵成立,・•・・2n2・6n>tn2，仁・2・—z/.t<・5・n综上可得:t<-5.故答案为：(・8,・5]・三、解答题：本大题共70分，其中(17)-(21)题为必考题,(22)f(23)题为选考题•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・17.在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC・c二2b.(I)求角A的大小； (H)若c=V2,角B的平分线BD=V3，求a.［考点］正弦定理.【分析】(I)由正弦走理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；(H)由条件和正弦定理求出sinzADB,由条件求岀，ADB;由内角和定理分别求出zABC、zACB,结合条件和余弦定理求出边a的值・【解答】解：(I)由2acosC・c二2b及正弦定理得，2sinAcosC・sinC=2sinB,…2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,•sinC=2cosAsinC,•「sinChOz/.cosA=令，2兀又Ae(0,n),.A=-y-;...(H)在aABD中，c=V2,角B的平分线BD=V3,由正弦定理谧而聶，••sin"DB=^』l笛再,...BD~vr-2由A=晋得"DB=¥,.-.zABC=2(兀晋十)=¥,.-.zACB=7T罟岭,AC=AB=^2由余弦定理得,a2=BC2=AB2+AC2・2AB・AC・cosA二2+2-2x^/2xV2x(¥)二6,/.a=V6.-.17•空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级，0~50为优；51~100为良101・150为轻度污染;151・200 为中度污染；201~300为重度污染;>300为严重污染・一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图・(I)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI<100)的天数;(按这个月总共30天)(n)将频率视为概率z从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为E,求E的概率分布列和数学期望.79II19［考点］离散型随机变量的期望与方差;茎叶图；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,由此能求出该样本中空气质量优良的频率,从而能估计该月空气质量优良的天数.(2)估计某天空气质量优良的概率为右,E的所有可能取值为0丄2S且E~B(3肩)，由此能求出E的概率分布列和数学期望■【解答】解：(1)从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,•••该样本中空气质量优良的频率为晋#,3从而估计该月空气质量优良的天数为30x|=18・(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为壬,E的所有可能取值为0,1,2^,且E~B(3峙)，OOp(^0)=(?)3=—,P(^l)=cJ(f)(f)2=>, P(^2)=c2(|)2(|)=54397p(口)二(辛宀卷，.••E的分布列为:P08125136"125254125327"125.,.E^=3x-^=1.8.17•如图，在梯形ABCD中，ABllCD,AD=DC=CB=1,zBCD=120°,四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2,平1!1BFED丄平面ABCD.(I)求证：AD丄平面BFED;(n)在线段EF上是否存在一点P，使得平IEIPAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为票•若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由・【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定・【分析】(I)推岀AB二2z求解AB2二AD2+BD2,证明BD丄AD,然后证明AD丄平面BFED・(H)以D为原点，分别以DA,DE,DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量,利用向量的数量积,转化求解即可・【解答】解：(I)在梯形ABCD中, vABllCD,AD=DC=CB=1,zBCD=120°,・••故AB=2,••・BD2二AB2+AD2・2AB*AD>cos60°=3,.••AB2二AD2+BD2.•・BD丄AD,•.•平面BFED丄平面ABCDz平IEIBFEDD平面ABCD二BD,/.AD丄平面BFED(II)tAD丄平面BFEDr/.AD丄DEz以D为原点，分别以DA,DE,DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(OrO,O),A(1,O,O),B(0,^,0),P(0,入，1),AB=(・1,V3/0)zAP=1)・平面EAD的一个法向量为二二(0,1,0)设平面PAB的一个法向量为匚二(x,y,z),(需爲=o(取y"，可得A(届b后入)•由ABwir=0/AP・ir=0得：••二面角A-PD-C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为薯・——、|nrril__卜_ 1__5W..cosVm,口＞=G|I；|=7s+l+(齿一入)◎X1二火入P)2+4二五，解得入二芈f即P为线段EF靠近点E的位置•…17•已知椭圆Ci：4"+4=l(a>b>0)的离心率为卑，P(・2,1)是Ci上一点・abG(1)求椭圆Cl的方程；(2)设A,B,Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线I交G于异于P、Q的两点C,D,点C关于原点的对称点为E•证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.【考点】椭圆的简单性质・【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a,b,进而得到椭圆方程;(2)设人(-2,-1),B(2,1),Q(2,・1),设直线I的方程为y=*x+t,代入椭圆方程，设C(xi,yi)zD(x2,y2),E(・心，・力)，运用韦达定理，设直线PD,PE的斜率为ki,k2,要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证ki+k?二0,化简整理，代入韦达定理,即可得证.【解答】解：(1)由题意可得e=-=^，且R・b2=c2,a241将P(■2,1)代入椭圆方程可得”ab解得a=2逅，b=y[2tc=76z2即有椭圆方程为宁彳O(2)证明：A,B,Q是P(・2,1)分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A(・2,・l),B(2d),Q(2,・l),直线I的斜率为k=|,设直线I的方程为y詰x+t,代入椭圆x2+4y2=8,可得x2+2tx+2t2・4=0,设C(xi;yi),D(x2,y2),E(・-yi) 即有A=4t2-4(2t2・4)>0,解得・2vt<2,X1+X2二-2t,XiX2=2t2-4, 设直线PD,PE的斜率为灯，k?,yo~l~y~1(2~x1)(卩2-1)一(2+*2)(y〔+l)则kl+k2=77?2+T77+2=(2+x2)(2-Xj)，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证ki+k2=0,即(2・xi)(y2-1)・(2+X2)(yi+1)二0,由yi=4xi+t/Y2=yx2+t,可彳昌(2・xi)(y2・1)・(2+x2)(yi+1)=2(y2・yi)・(xiy2+x2yi)+xi・X2・4=X2・Xi・(XiX2+tXi+tX2)+X1・X2・4二.Xp<2・t(X1+X2)・4=-(2t2・4)+2t2・4=0,则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.21・已知函数f(x)=alnx+|x2-ax(a为常数)有两个极值点・(1)求实数a的取值范围；(2)设f(X)的两个极值点分别为XizX2,若不等式彳(Xi)+f(X2)0,.-.a>4,8>0(ozXi)(x)>0,(Xizx2),f‘(X)<0,(X2,+oo)(x)>0,•••XlzX2是f(X)的两个极值点,符合题意//.a>4;(2)f(Xi)+f(X2)=alnxi+专Xi?・axi+alnx2+*X22・ax2=a(Ina・,f(Xj)+f(x2)i:.7二Ina-—a-1,屮七2令y二Ina■寺a■1,贝!]•寺，•/a>4,.•y<0,•y=lna・・1在(4,+oo)上单调递减,/.y0z二是入的最小值In4-3.［选修4-4:坐标系与参数方程］22.在平面直角坐标系中”曲线C的参数方程为cosac（a为参数）•以坐标原点O为极点，XTT轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos（0+—）=V2.I与C交于A、B两点.（I）求曲线C的普通方程及直线I的直角坐标方程；（口）设点卩（0,・2）,求|PA|+|PB|的值.【考点］简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程. 【分析】（I）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线I的直角坐标方程； (口)点P(0,・2)在丨上，I的参数方程为为(t为参数)，代入5x2+*二1整理得,3t2-2V2t+3=0,即可求|PA|+|PB|的值.Ix^A/Scosa【解答】解：(I)曲线c的参数方程为丄；；卫(a为参数),普通方程为C:5x2+y2=l；TT直线I的极坐标方程为pcos(0+—)=V2,即PCOS0・psin0=2zI:y=x・2.…(口)点P(0,・2)在丨上，I的参数方程为(t为参数)代入5x2+y2二1整理得，3t2・2V2t+3=0z由题意可得|PA|+|PB|二|ti|+|t2|=|ti+t2|二2护…［选修4-5:不等式选讲］23・已知关于x的不等式|x・3|+|x・m|>2m的解集为R・(I)求m的最大值；(口)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c二m,求4a2+9b?+c2的最小值及此时a,b,c的值.［考点］绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义■【分析】(I)利用|x・3|+|x・m|>|(x-3)-(x-m)|=|m-3|,对x与rm的范围讨论即可・(n)构造柯西不等式即可得到结论・【解答】解：(I)-.|x・3|+|x・m|n|(x・3)・(x-m)|=|m・3|当32m,/.m・3>2m，或m・3s•2m. 解得:m<-3z或msl(□)由(I)a+b+c二1・由柯西不等式：(j+j+1)(4a2+9b2+c2)>(a+b+c)2=1,.••4a2+9b2+c2n鲁,等号当且仅当4a二9b二c,且a+b+c二1时成立.即当且仅当a~,b二寻，c-||时，4a2+9b*的最小值为君・ 2017年3月4日