优化问题中的基本约束规范及其相互关系.pdf

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1、第17卷第2期长春大学学报Vol.17No.22007年4月JOURNALOFCHANGCHUNUNIVERSITYApr.2007文章编号:1009-3907(2007)02-0016-04优化问题中的基本约束规范及其相互关系段复建,李绍刚,朱志斌(桂林电子科技大学计算科学与数学系广西桂林541004)摘要:分析了优化问题中的基本约束规范,如LICQ,AbadieCQ,SlaterCQ,CotterCQZangWillCQ,Kuhn2TuckerCQ。针对等式与不等式约束优化模型,讨论了它们之间的相互关系,并给出了它们之间的相互关系图。关键词:约束优化模型;约束

2、规范;K2T条件中图分类号:0224文献标识码:A0引言约束规范指的是与约束集合有关而与目标函数无关的一种性质,所以只要约束规范成立,K2T条件对同样的约束及任何其他的光滑的目标函数均成立。另外,约束规范的选择与算法的构造有着密切的联系,从实际应用上来看,所选的约束规范越容易验证,算法的实用性越强。从理论上来讲,使用的约束规范越强,从而使得到的收敛性定理越强。最近,张序萍等人对约束化问题中的常见的约束规范进行了讨论,并给出了它们〔1〕之间的相互关系,本文对文献〔2〕中的一些基本约束规范进行了分析和总结,再结合文献〔1〕选择约束规范,进行算法构造和相关的收敛性分析。

3、以下考虑下面两个优化模型:minf(x);minx∈Xf(x);x∈X模型P:模型Q:gi(x)≤0,i∈I;gi(x)≤0,i∈I。hi(x)=0,i∈E。其中X为可行域,且有以下两个假设n假设(a):f,gi均为R→R上的连续可微函数,x€是模型P的局部最优解。n假设(b):f,gi,hi均为R→R上的连续可微函数,x€是模型Q的局部最优解。文中的一些基本记号:TI={i:gi(x€)=0}———有效约束指标集;S={x:gi(x)≤0,i∈I};F0={d:¨f(x€)d<0)};TTTG0={d:¨gi(x€d<0,i∈I)}———内方向锥;G′={d:¨

4、gi(x€)d≤0,i∈I};H0={d:¨hi(x€)d=0,i∈E};A=a(λ)-a(0){d:d=lim,a(λ)∈S,λ∈(0,δ),a(0)=x€,d≠0}———可达方向锥;D={d:d≠0,x€+λd∈S,λ→0+λλ∈(0,δ)}———可行方向锥;T={d:d=limλk(xk-x€),Pk,λk>0,xk∈S,xk→x€(k→∞)}———切锥。k→∞1定义和引理(1)约束规范的基本定义和一些特殊函数的定义定义1:加在约束条件之外的一些其他条件称为约束规范,简单记为CQ。收稿日期:2007202214基金项目:国家自然科学基金资助项目(105010

5、09)作者简介:段复建(19652),男,黑龙江省黑河市人,桂林电子科技大学计算科学与数学系副教授,博士,主要从事最优化理论与算法研究。第2期段复建,等:优化问题中的基本约束规范及其相互关系17〔2〕n定义2:设Ω为R→R上非空集合,若Px,y∈Ω,Pλ∈(0,1)有:f[λx+(1-λ)y]≤max{f(x),f(y)}成立,则称f为拟凸函数,-f为拟凹函数。〔2〕nT定义3:设Ω为R→R上非空集合,f在Ω→R上可微,若Px,y∈Ω,有¨f(x)(y-x)≥0]f(y)≥Tf(x)的充要条件是Px,y∈Ω,f(y)

6、凸函数,-f为伪凹函数。〔2〕TT定义4:若Px∈S,都有:¨g(x€)(x-x€)≥0]g(x)≥g(x€)的充要条件是g(x)

7、点可微并且是拟凸函数的充要条件是Px∈S,均有下式成立f(x)≤f(x€)]¨f(x€)(x-x€)≤0。(3)本文中的两个主要引理n引理4:设X为R→R上非空集合,对于模型P,若满足假设(a)的条件,则有clG0

8、x€+λd