常微分方程考研义高阶微分方程.doc

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1、第四章高阶微分方程[教学目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。文档来自于网络搜索2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。文档来自于网络搜索3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。4.掌握高阶方程的应用。[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。[教学方法]讲授，实践。[教学时间]16学时[教学内容]线性微分

2、方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标]文档来自于网络搜索1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论阶线性微分方程51/5

3、1（4.1）其中及都是区间上的连续函数如果，则方程（4.1）变为：（4.2）称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。文档来自于网络搜索定理1如果及都是区间上的连续函数，则对于任一，方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件：文档来自于网络搜索（4.3）从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有及连续的整个区间上有定义。文档来自于网络搜索4.1.2齐线性方程的解的性质与结构讨论齐线性方程（4.2）定理2（叠

4、加原理）如果是方程（4.2）的个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数。特别地，当时，即方程（4.2）有解（4.4）它含有个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念。文档来自于网络搜索设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式51/51对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当时,上述恒等式才成立,称这些函数在所给区间上线性无关。文档来自于网络搜索由此定义不难推出

5、如下的两个结论：1)在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关.2)如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数.例1函数组在任意区间上都是线性无关的.解比式=不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组在区间上线性相关.解若取则故已知函数组在上线性相关.设函数在区间上均有阶导数,行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。定理3若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数，使得（4.6）51/51依次对微分此恒等式，得到（4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于的齐次线性代

6、数方程组，它的系数行列式就是，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即。文档来自于网络搜索反之，其逆定理一般不成立。例如函数和在区间上，，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式（4.8）则当时，可知；当时，可知.即当且仅当时，(4.8)式对一切成立.故是线性无关的.推论1如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即，则该函数组在上线性无关.但是，如果是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即。证明：采用

7、反证法。设有某个，，使得。考虑关于的齐次线性代数方程组51/51（4.9）其系数行列式，故（4.9）有非零解。现以这组常数构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道这个解满足初始条件（4.10）但是显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。由解的唯一性，即知，即因为不全为0，这就与线性无关的假设矛盾，定理得证。推论2设是方程（4.2）定义在上的个解，如果存在，使得它的朗斯基行列式,则该解组在上线性相关.推论3方程（4.2）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5阶齐线

8、性方程（4.2）一定存在个线性无关的解。定理6（通解结构定理）如果是方程（4.2）的个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）其中，是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.