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1、2005年6月第3期三种典型矩阵方程的简单解法81三种典型矩阵方程的简单解法SimpleSolutionofThreeTypicalMatrixEquations陈逢明X(福建商业高等专科学校基础部福建福州350012)内容提要本文从矩阵理论出发,给出三种典型矩阵方程的简单解法。关键词矩阵方程;可逆矩阵;初等矩阵;初等变换中图分类号:G63316文献标识码:A文章编号:1008-4940(2005)03-0081-05当矩阵A、B可逆时一般矩阵方程的计算步骤可由下存在有限个初等矩阵P1,P2,⋯PL,使面推得:A=P1P2⋯PL。-1-1-1若AX=B,则有AAX=AB,即X=
2、AB。于是又由引理3,可得只要求出A的逆矩阵A-1,再左乘B即得X。-1-1-1PLPL-1⋯P1A=E,-1-1-1若XA=B,则有XAA=BA,即X=BA。于是即P-1-1-1-1。(1)LPL-1⋯P1=A-1只要求出A的逆矩阵A,再右乘B即得X。-1由AX=B,得X=AB。(2)-1-1-1-1又若AXB=C,则有AAXBB=ACB,即X=将(1)代入(2),即得-1-1-1ACB。于是只要分别求出A与B的逆矩阵A与-1-1-1X=PLPL-1⋯P1B。证毕-1B,再分别左乘与右乘于C,即得X。上面的(a)式表明矩阵A经一系列初等行变换可变成这也就是说,解矩阵方程时,一
3、般也都须运用求逆矩E。(b)式表明矩阵B经这同一系列初等行变换即变成X。阵的方法与矩阵乘法的运算。显然这是比较麻烦的,本文用分块矩阵形式,及按矩阵的分块乘法,(a)、(b)两式可合从矩阵理论出发,给出这三种矩阵方程的简单解法。并写成引理1对m×n矩阵A施行初等行变换就相当于在-1-1-1-1-1-1-1-1PLPL-1⋯P1(A┊B)=(PLPL-1⋯P1A┊PLPL-1A的左边乘上相应的m阶初等矩阵;对m×n矩阵A施行-1⋯P1B)=初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n阶初等矩(E┊X)(c)阵。即对矩阵(A┊B)施行初等行变换,当把A变成E时,引理2若A为可逆方阵,则存
4、在有限个初等矩阵B就变成X。(c)式提供了一个具体解矩阵方程AX=B的P1,P2,⋯PL,使A=P1P2⋯PL。简单方法。引理3初等矩阵皆可逆,且其逆矩阵也是初等矩阵。例1解下列矩阵方程:由引理2及引理3可得:若AX=B,且
5、A
6、≠0,则存在11-12有限个初等矩阵P1,P2,⋯PL,使(i)-211X=3;-1-1-1PLPL-1⋯P1A=E(a)1116-1-1-1-1即PLPL-1⋯P1=A。11-12-1-1-1于是有X=PLPL-1⋯P1B。(b)解设A=-211,B=3。-1证因
7、A
8、≠0,故A可逆,即A存在。由引理2,知1116X收稿日期:2005-1-10作者简
9、介:陈逢明(1962-)男福建商业高等专科学校讲师82福建商业高等专科学校学报2005年6月11-1…21000…1031(A┊B)=-211…3→0100…012-1→=(E┊X),111…60010…00-2311-1…2110…40001…000-303-1…7→030…91031002…4001…2012-1于是X=。110…4100…100-23→010…3→010…3=(E┊X)000-3由引理2及引理3又可得:若XA=B,且
10、A
11、≠0,则001…2001…21存在有限个初等矩阵Q1,Q2,⋯QS,使-1-1-1于是X=3AQSQS-1⋯Q1=E(d)-1-1-1-
12、12即QSQS-1⋯Q1=A。12101252-1-1-1于是有X=BQSQS-1⋯Q1。(e)0101012-4-1(ii)X=。证因
13、A
14、≠0,故A可逆,即A存在。由引理2,002100-43知存在有限个初等矩阵Q1,Q2,⋯QS,使0003000-9A=Q1Q2⋯QS。1210又由引理3,可得0101-1-1-1解设A=,AQSQS-1⋯Q1=E0021-1-1-1-1及QSQS-1⋯Q1=A。(3)0003由XA=B,得1252-1X=BA。(4)012-4B=。将(3)代入(4),即得00-43-1-1-1X=BQSQS-1⋯Q1。证毕000-91210…1252上面
15、的(d)式表明矩阵A经一系列初等列变换可变0101…012-4成E。(e)式表明矩阵B经这同一系列初等列变换即变(A┊B)=→0021…00-43成X。用分块矩阵形式,及按矩阵的分块乘法,(d)、(e)0003…000-9两式可合并写成101-2…10110AQ-1-1-1ASQS-1⋯Q10101…012-4-1-1-1⋯QSQS-1⋯Q1=⋯⋯⋯⋯⋯0021…00-43BBQ-1-1-1SQS-1⋯Q10001…000-3E1010…1014=⋯。(f)0100…012-1X→→0020
