现代设计方法-优化设计-数学基础.ppt

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1、现代设计方法优化设计部分黄正东二0一三年一月本章主要内容优化设计概述优化设计的数学基础一维探索优化方法无约束优化方法约束问题优化方法优化设计若干问题优化设计概述优化设计的数学基础一维探索优化方法无约束优化方法约束问题优化方法优化设计若干问题函数的泰勒展开目标函数无约束极值条件目标函数的凸性约束问题的极值条件（模型的性质与最优解的表征）优化设计的数学基础优化设计的本质：求极值。为便于对多变量问题进行数学分析和求解，往往需要采用线性函数和二次函数替代简化目标函数。（1）一元函数的f(X)泰勒展开：若f(x)在含有x(0)处的某个开区间内直到（n+1）阶可导，

2、只要开区间（a,b）足够小,则该函数在（a,b）内x(0)点处的二阶泰勒展开式为：函数的泰勒展开（2）二元函数f(x1，x2)的泰勒展开：函数的泰勒展开（3）多元函数f(x1，x2,…xn)的泰勒展开：:目标函数f(x)在点x(0)的所有一阶偏导数组成的矩阵向量(一阶导数矩阵向量或梯度）:目标函数f(x)在点x(0)的所有二阶偏导数组成的矩阵(二阶导数矩阵或海色矩阵，记作H(x)），n×n阶对称矩阵f(x(2))f(x(1))函数Hessian矩阵例子优化设计的首要工作是判断极值的存在性，如不存在极值，优化设计无意义。（1）无约束目标函数极值的存在性

3、目标函数为一元函数f(x)f(x)在点x(0)处有极值的充要条件为：时，有极小值；时，有极大值。目标函数无约束极值条件一元函数的极值点极小值点0xyy=f(x)x00xyy=f(x)x00yy=f(x)x0极大值点不存在极值点目标函数为多元函数f(x1，x2,…xn)f(X)在点X(0)处有极值的充要条件为：（必要条件）（充分条件）正定时，有极小值；（必要条件）（充分条件）负定时，有极大值；二次函数与正定矩阵正定条件负定条件XXff例：试证明函数在点处具有极小值。解：将代入得H(X(0))正定，目标函数在（2,4）处具有极小值。目标函数的极值点一般是相对

4、于它附近的局部区域中的各点而言的，目标函数在其整个可行区域中，有时可能存在许多个极值点，优化设计时应力求找到多个极值点中的最小值点，即全局最优点或整体最优点，其它非最小值的极值点称为局部最优点或相对最优点。凸性：单峰性，目标函数若为凸性，极值点只有一个，即为全局最优点。目标函数的凸性凸集：假设在n维欧式空间Rn中有一个集合D，即，若D内任意两点X(1),X(2)之间的连接直线都属于集合D,则D为n维欧式空间内的一个凸集，否则为非凸集。如果将X(1),X(2)之间的连接直线用表达，则凸集的数学表达式为：若则x2x1x(2)x(1)x2x1x(2)x(1)凸

5、集非凸集凸集的几何特征：其任意两点连线上的一切点都位于这个几何内。凸函数：凸函数的数学表达式为：f(x)x2x1xf(x2)f(x1)判断函数f(x)为凸函数的充要条件：方法1：若函数f(x)在D上具有一阶的连续导数，对任意两点x(1),x(2),f(x)为凸函数的充要条件是:恒成立方法2：若函数f(X)在D上具有二阶的连续导数，则f(X)为凸函数的充要条件是:H(X)处处半正定凸规划对于非线性规划若其中f(x)和gu(x)均为凸函数，则这样的规划问题称为凸规划。目标函数有约束极值还是无约束极值，主要取决于约束条件对极值和极值点的影响。同样的目标函数对于

6、不同的约束条件，可能出现不同的最优值和最优点，其原因在于不同的约束条件限制了设计变量不同的取值范围。有约束最优问题需要解决的问题判断约束极值点存在的条件；判断找到的极值点是全局最优点还是局部最优点。约束问题的极值条件A.无约束最优点为可行域的内点，此时目标函数的最优点就是约束问题的最优点；约束最优点和无约束最优点的相互关系：B.无约束最优点在可行域外，约束问题的最优点是约束边界上的一点，该点是约束边界与目标函数一条等值线（面）的切点；对于等式约束问题等式约束的极值条件可以建立拉格朗日函数这就是等式约束问题在点X*取得极值的必要条件，它的含义是：在等式约束

7、问题的极值点上，目标函数的负梯度等于诸约束函数在该点梯度的线性组合。对于不等式约束问题不等式约束的极值条件可以通过引入m个松弛变量将不等式约束变成等式约束然后类似地建立拉格朗日函数以上两点可以统一用一个条件来表示：K-T（Kuhn-Tucker)条件：满足K-T条件的点称为K-T点。对于一般非线性规划问题，K-T点一定是约束极值点，但却不一定是全域最优点。一般采用多初始点下的极值点是否都逼近同一点（可看成最优点）的近似方法来判别。但是，对于目标函数为凸函数，可行域为凸集的凸规划问题，K-T点一定是全域最优点。例:用K－T条件判断点是否是下列约束优化问题的

8、约束极值点。作业P58:2-5P59:2-7至2-9