期权定价的二叉树模型.doc

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1、第八章  期权定价的二叉树模型8.1  一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。例8.1假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。                  在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模

2、型。一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为.这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（noarbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期

3、日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有                       由此可得                             (8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险利率，则该组合的现值（thepresentvalue）为,又注意到该组合的当前价值是，故有                     即          

4、     将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为                        (8.2)                                    (8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（noarbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：.        现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。已知：且在期权到期日，当时，该看涨权的

5、价值为而当时，该看涨权的价值为根据(8.3)和(8.2)，可得               .上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为                      如果我们假设市场是风险中性的（riskneutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有                      于是，我们有             

6、                          由此可得                         与(8.3)比较，我们发现：，这就是参数的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概率。8.2  两步二叉树模型在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个

7、时间步长。假设一只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增加到当前价格的倍，或者下降到当前价格的倍。股票和期权价格的演化过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-stepbinomialtrees）模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（noarbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，我们得到               

8、(8.4)其中，                                      (8.5)   在(8.4)中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。           例8.2假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权