群(离散数学)

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1、离散数学26十月2021第十三章群集合的概念1特殊群3半群与含幺半群1群及其性质2陪集与拉格朗日定理4正规子群512.1本章学习要求重点掌握一般掌握了解11半群、群、子群及性质2元素的周期及计算3生成元与循环群4陪集与拉氏定理3商群及性质2正规子群性质与同态核13.2半群与含幺半群定义13.2.1在二元代数中，若二元运算“”满足结合律，则称为半群；特别地，若半群中的二元运算“”满足交换律，则称为可交换半群。定义13.2.2设为半群，若S中存在关于

2、运算“”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为；若独异点中运算“”满足交换律，则称为可交换独异点（可交换含幺半群）。例13.2.1设A是非空集合，AA表示所有A到A的函数集合，运算“”表示映射的复合运算，证明是半群。分析只需证明运算“”满足封闭性和结合律。证明对f,g∈AA，显然有fg∈AA，故封闭性成立。又函数复合运算“”满足结合律，所以是半群。例13.2.2设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明

3、代数系统与都是可交换的含幺半群。分析运算“∪”和“∩”显然满足交换律，因此只需说明与是半群，并计算它们的幺元即可。例13.2.2（续）证明显然运算“∪”和“∩”均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。易证Φ和S分别是和的幺元。因此，与是可交换的含幺半群。例13.2.3设n＝｛0,1,2,…,n－1｝,定义n上的运算＋n如下：x,y∈n,x＋ny＝x＋y(modn)(即

4、x＋y除以n的余数)。证明是含么半群。证明：封闭性：x,y∈n,令k＝x＋y(modn),则0≤k＜n－1,即k∈n,所以封闭性成立；例13.2.3（续）结合律：x,y,z∈n,有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)所以结合律成立。单位元：x∈n,显然有0＋nx＝x＋n0=x所以0是单位元。故是含么半群。子半群和子含幺半群将子代数应用于半群，可得下面的定义：定义13.2.3如果是半群，T是S的非空子集，且运算“”对T封闭，则称是

5、半群的子半群；如果是含幺半群，T是S的非空子集，e∈T。且运算“”对T封闭，则称是含幺半群的子含幺半群。例13.2.4设是含幺半群，M={a

6、a∈S，x∈S有ax=xa}，则是的子含幺半群。分析需证明两点：幺元存在，运算“”封闭。证明(1)设e是半群的幺元，则x∈S，显然有ex=xe，因此，e∈M。进而M是S的非空子集。例13.2.4（续）（2）对任意a,b∈M，由M的定义知，x∈S，有a

7、x=xa，bx=xb，又运算“*”满足结合律，则(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab)，即x∈S,(ab)x=x(ab)，因此，(ab)∈M。由(1)、(2)可知：是的一个子含幺半群。13.2.2元素的幂设〈S,*〉是一个半群,对xS,可定义：x¹=x,x²=xx,x³=xx²=x²x=xxx,……xn=xn-1x=xxn-¹=xxx……x。……如果〈S,*〉有单位元e,可以定义：x0=e元

8、素的幂（续）由于结合律的满足,同样有如下的公式：axay=ax+y(aˣ)ʸ=aˣʸ例13.2.6（1）设是半群，a∈S，M={an

9、n∈Z+}，则是的子半群；（2）设是含幺半群，a∈S，M={an

10、n∈N}，则是的子含幺半群；分析（1）M是非空子集，运算“”封闭。（2）还需说明幺元e在M中。例13.2.6（续）证明（1）a=a1∈M，所以M是非空集合。对n∈Z+，an∈S，因此M是S的非空子集。对an，am∈M，n，m∈Z+，

11、则anam=an+m，n+m∈Z+，anam∈M。故运算“”封闭。是的子半群。（2）幺元e=a0∈M，即幺元在M中。类似（1），同理可证是的子含幺半群。13.2.3循环半群定义13.2.4（1）在半群中，若存在一个元素a∈S，使得对任意x∈S，都有x=an，其中n∈Z+，则称为循环半群，并称a为该循环半群的一个生成元，M={a

12、(a∈S)且a是S的生成元}称为该循环半群的生成集；定义13.2.4（续）（