奇数定理及其应用

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1、5奇数定理及其应用续页12009-08-0615:38奇数定理及其应用续页尼科彻斯定理，即：任何一个整数的立方都可以写成一串连续奇数的和。任何上个整数的立方都可以定成一串相邻奇数之和,这就是著名的尼科梅斯定理,如:1的立方等于1；2的立方等于3+5；3的立方等于7＋9＋11；归纳证明：已知：若“2个被PN-1整除的相邻奇数之间”只有2个N-1级奇数，则它可以整理为[P1P2…PN-1K-PN-1，P1P2…PN-1K+PN-1]；求证：若“2个被PN整除的相邻奇数之间”只有2个N级奇数，则它一定可以整理为[P1P2…PNK-PN，P1P2…PNK+PN]；证明：被PN不能整除

2、的N-1级奇数属于N级奇数（定义）；若a、b、c是3个连续的“被PN-1整除的奇数”，c-a=2*2*PN-1，则a，c之间至少存在5个N-1级奇数（由已知条件导出）；由于3个“被PN整除的奇数”所在区间的最小长度大于2（2*PN-1），所以连续5个N-1级奇数中，能被PN整除的一定少于3个；得出小结：（1）“只有2个N级奇数的区间”中最多只有4个N-1级奇数；（2）若“连续4个N-1级奇数的区间”中只有2个N级奇数，则它的长度一定大于[P1P2…PN-1K-PN-1，P1P2…PN-1K+PN-1]，其形式只能是“2个被PN整除的N-1级奇数夹着2个N级奇数”，只能是[P1

3、P2…PNK-PN，P1P2…PNK+PN]注：P1P2…PNK-1，P1P2…PNK+1属于N级奇数，P1P2…PNK-PN和P1P2…PNK+PN都是被PN整除的N-1级奇数；得出结论：若“2个被PN整除的相邻奇数之间”只有2个N级奇数，则它一定可以整理为[P1P2…PNK-PN，P1P2…PNK+PN]；5结论：由于“2个被PN整除的相邻奇数之间”的长度小于2PN，所以“2个相邻的被PN整除的奇数之间”的N级奇数除以PI，（I≥N），余数不一样；得出奇数定理：自然数列中任意两个被PN整除的奇数之间至少存在2个被PI除（I≥N）余数不一样的N级奇数；推理得出：[P1P2…

4、PNK-PN+1+1，P1P2…PNK+PN+1-1]=2个N级奇数的最大区间；2.奇数定理的应用利用奇数定理可以解决帮助我们解决很多数学问题，本文只以3个悬而未决的数学问题为例，阐述奇数定理的应用价值。2.1悬案1：相邻较大质数的上限值是多少？通过计算得出：[P1P2…PNK，P1P2…PNK+PN+2-1]中，只有P1P2…PNK+1，P1P2…PNK+PN+1是N级奇数，[P1P2…PNK，P1P2…PNK+PN+2-1]的长度为PN+2，根据2个N级奇数的最大区间[P1P2…PNK-PN+1+1，P1P2…PNK+PN+1-1]长度等于2PN+1-1，计算得出PN+2

5、＜2PN+1-1，从而得出质数定理1：PN+1＜2PN-1，（N≥3）如7＜2*5-1，11＜2*7-1，13＜2*11-1；注：已知PN+1的上限值是欧几里德先生证明的PN+1≤P1P2P3*……*PN+1；2.2悬案2：相邻奇质数的平方之间是否一定存在质数?由于(1)当N≥3时，PN2＜P1P2…PN，所以，PN2以下“2个被PN整除的奇数之间”都不能整理成[P1P2…PNK-PN，P1P2…PNK+PN]，“2个被PN整除的奇数之间”都至少包含3个N级奇数；(2)[2，PN+12-1]中的N级奇数只能是大于PN的质数，5所以，当N≥3时，PN+12以下任意两个被PN整除

6、的奇数之间都至少存在3个质数。如5与15之间有7、11、13；15与25之间有17、19、23；由于PN+12-PN2≥2（PN+1+PN），[PN2，PN+12]中至少有3个被PN整除的奇数，所以根据上述推理可得出质数定理2:任意2个大于3的质数的平方之间至少存在6个质数；如52与72之间有29、31、37、41、43、47；72与112之间有53、59、61、67、71、73、79、……；2.3悬案3：任意大于4的偶数都可以等于2个质数之和吗？2.3.1异余质数定理自定义：用M∈{AN=aN}表示M除以PN，余数是aN；若M与PX的A1，A2，…AN值依次不一样，则称PX

7、为M的N级异余质数；推理1：根据3与32都是被3整除的奇数，得出3与32之间一定存在AI值不同的2级奇数（I≥2），（奇数定理）根据3与32之间的2级奇数只能是质数，得出：3与32之间至少存在1个“A2≠a2”的质数，存在任意偶数的2级异余质数；检验：{5，7}中至少存在一个“A2≠a2”的质数；推理2：根据5，15，52都是被5整除的奇数，得出5与15之间，15与52之间都至少存在2个AI值（I≥3）不同的3级奇数（奇数定理），5与52之间一定存在“A2≠a2，A3≠a3”的质数，一定存在任意偶数的3