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1、第六章共形映射复变函数与积分变换§6.1共形映射的概念一、解析函数导数的几何意义二、共形映射的概念小结与思考一、解析函数导数的几何意义1.伸缩率与旋转角yxC.yx.如图．Cyx..yx..则称此极限值为曲线C经函数w=f(z)映射后在z0处的伸缩率．定义1当z沿曲线C趋向于z0点时，如果存在，Cyx.yx.曲线C经函数w=f(z)映射后在z0处的旋转角．定义２设曲线C在z0处的切线倾角为，Cyx..yx.2．伸缩率不变性结论:方向无关.所以这种映射具有伸缩率的不变性.3．旋转角不变性与保角性说明:旋转角的大小与方向跟曲线
2、C的形状无关.映射w=f(z)具有旋转角的不变性...则有结论:的夹角在其大小和方向上都等同于经过方向不变的性质,此性质称为保角性.注意是必要的,否则保角性将不成立．综上所述,有质:(1)伸缩率不变性；(2)保角性．定理一二、共形映射的概念定义说明:但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,则称之为第二类保角映射.由定义，定理一又可以叙述为定理二定义设w=f(z)是区域D内的第一类保角映射，如果当z1≠z2时，有f(z1)≠f(z2)（即双方单值），则称f(z)为共形映射．问题:关于实轴对称的映射是第一类保角映射吗?答案:将z平
3、面与w平面重合观察，y(v)x(u)..夹角的绝对值相同而方向相反.否.解反之放大.小结与思考熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质.思考题思考题答案§6.2共形映射的基本问题一、共形映射的基本问题二、解析函数的保域性与边界对应原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D共形地映射为G；问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D共形地映射为G；问题二一般称为基本问题，
4、我们一般用单位圆作为一个中间区域．如下图：二、解析函数的保域性与边界对应原理定理1(保域性定理)设函数f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则象集合G=f(D)是区域．定理２(边界对应原理)设区域D的边界为简单闭曲线C，函数w=f(z)在上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线，当z沿C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为的正向，并令G是以为边界的区域，则w=f(z)将D共形映射成G．注1解析函数把区域变成区域；注2边界对应确定映射函数；注3注意边界对应的方向性．三、保形映射的存在唯一性说明该条件的几何解析：§6.3分式线
5、性映射一、分式线性映射的概念二、分式线性映射的分解三、分式线性映射的性质四、唯一决定分式线性映射的条件五、两个典型区域间的映射一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由二、分式线性映射的分解（整式线性映射）复合而成．由结论：分式线性映射可以分解为如下简单映射的复合：又可进一步分解为整式线性映射平移映射旋转映射相似映射反演映射Ⅰ.Ⅱ.例1复合过程为：几种简单的映射的几何性质平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)几种简
6、单的映射的几何性质旋转映射旋转角度，在此映射下，把z绕原点相似映射在此映射下，相似映射特点：对于复平面上任一点，保持辐角不变，而将模放大或缩小．关于横轴对称反演映射此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那么就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O.......由T作OP的垂线作图:.设P在C外,从P作C的切线PT,故可知:.关于单位圆对称关于实轴对称.....对反演映射的规定:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一
7、对应.(1)(2)三、分式线性映射的性质1.保形性(共形性)综上所述知:定理一分式线性映射在扩充复平面上是共形映射．2.保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.2)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那么它就映射成半径为有限的圆周;
8、有一个点映射成无穷远点,那么它就映射成直线.如果例如3.保对称性对称点的特性........结论充要条件是:定理三即分式线性映射具有保对称性.证分式线性映射[证毕]四、唯一决定分式线性映射的条件三个常数．定理只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射.就可将四个常数化为所以，分式线性映射中含有三个独立的常
