资源描述：
《二元函数极值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、浅谈二元函数的极值问题摘 要：本文首先给出二元函数极值的定义，实例分析了二元函数极值存在的必要条件和充分条件，并通过实例解析了求二元函数极值的步骤.关键词：二元函数;极值;必要条件;充分条件Todiscusstheextreme-valueproblemofthebinaryfunctionshallowlyAbstract:Inthispaper,thedefinitionandconditionsoftheextremeofbinaryfunctionarefirstlygiven,onthebasis,stepsoffindingtheextremevaluearediscu
2、ssed,andspecificexamplesofrelevanttothisaregiventoexpoundthem.Keywords:binaryfunction;extreme;necessarycondition;sufficientcondition前言函数极值在数学、工程、金融风险管理等多领域都有广泛应用，本文以二元函数为例，讨论函数极值的若干方面问题.1.预备知识定义设函数在点的某领域内有定义，若对于任意点，成立不等式（或），则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点，极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点
3、仅限于定义域的内点.2.二元函数存在极值的实例分析例1二元函数在点处存在极小值.因为点的任一邻域内异于的点的函数值都为正,而在点处的函数值为零.从几何上看这是显然的,因为点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点.例2二元函数在点处存在极大值.因为点是位于面下方的锥面的顶点,所以二元函数在点处存在极大值.3.极值的条件3.1极值的必要条件若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有，.（1）反之，若函数在点满足（1），则称为的稳定点.上述极值的必要条件指出：若存在偏导，则其极值点必为稳定点，但稳定点并不都是极值点，例如函数，原点为其稳定点，但它在原点并不取得极值点.此外，函数在偏导数不存在的点仍然
4、可能有极值，例如：，它是交于轴的两个平面.显然，凡的点都是函数的极小值点.但是，时，时，.因此在时偏导数不存在.由此可见，函数的极值点必为及同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.3.2极值的充分条件设函数在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又且,记二阶连续偏导数为,,,,则函数在点处是否取得极值的条件如下:(1)当且时,函数在点处取得极大值;(2)当且时,函数在点处取得极小值;(3)当时,函数在点处不取得极值;(4)当时,函数在点处可能取得极值,也可能不取得极值.4.求二元函数的极值的步骤要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数
5、的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论，若的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须，就有.由于的一切二阶偏导数在连续，记，，，那就有于是.当二次形式不为零时，注意到时，都是无穷小量，所以存在点的一个领域，使得在这个领域内，的符号与的符号相同，而当时，的符号取决于的符号了.对于二次型它的判别式为.那就有以下结论：H>0H<0H=0A<0A>0函数有极大值函数有极小值函数无极值需进一步判定利用代数中关于二次型的理论，很容易理解以上结论.这是因为当而时，二次型为负定的，故，从而；当而时，二次型为正定的，故，从而；当时，二次型为不定的.所以亦可正可负的，于是函数无极值
6、；当时，二次型在某些值上将等于零，于是的符号就必须进一步判断了.5.求极值的相关例题例1证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积.证明:设三角形的边长为，周长，于是.三角形的面积有如下公式：.由解得的稳定点：，，，.事实上，的定义域是（如下图阴影部分）：yx0,,.在上一定有最大值，在内有唯一稳定点，,在上取值为零，因此一定在取到内的最大值，即,,.时，三角型有最大值.例2设通过观测或实验得到一列点，它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量与之间的对应关系，现要确定一直线与这个点的偏差平方和最小.解:设所求直线方程为，所测得的个点为，现要确定使得为最小，为此把
7、这组关于的线性方程加以整理，得求此方程组的解，即得的稳定点,.为了进一步确定该点是极小值点，我们计算得,,,由极值的充要条件知，在点取得极小值，由实际问题知这极小值为最小值.结束语多元函数的极值问题在多元函数微分学上有重要应用,在这里利用偏导讨论二元函数极值问题可以帮助我们更好的学习极值问题的求解.参考文献：[1]廖可人,李正元.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1986.[2]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1983.[3
