二元函数的极值.doc

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1、§10–7二元函数的极值基础知识导学1.二元函数的极值与驻点⑴极值与驻点①极值设函数在点的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点外的任意点，均有（或），则称点为函数的极大值点（或极小值点）.称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.②驻点使同时成立的点称为函数的驻点.⑵极值存在的必要条件设函数在点的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有.注意可导函数的极值点必定为驻点，但是函数的驻点却不一定是极值点.⑶极值存在的充分条件设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且是驻点.设，,，则①当时，点是极值点，且当时，点是极大值点；当时，点

2、是极小值点；②当时，点不是极值点；③当时，点有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵拉格朗日乘数法求函数在满足约束条件下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法的具体步骤如下：①构造拉格朗日函数,其中为待定常数，称其为拉格朗日乘数.②求四元函数的驻点，即列方程组求出上述方程组的解，那么驻点有可能是极值点；③判别求出的点是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似

3、的结果.解题方法指导1．求函数的极值与最值的方法例1求函数的极值.解（1）求驻点由得两个驻点，，（2）求的二阶偏导数，，，（3）讨论驻点是否为极值点在处，有，，，，由极值的充分条件知不是极值点，不是函数的极值；在处，有，，，，而，由极值的充分条件知为极大值点，是函数的极大值.例2某公司要用不锈钢板做成一个体积为8的有盖长方体水箱。问水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？解一用条件极值求问题的解.设长方体的长，宽，高分别为，，.依题意，有，令=+，由解得驻点（）.根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为2时，才能使用料最省.解二将条件极值转化为无条件极值

4、.设长方体的长，宽，高分别为，，.依题意，有，消去，得面积函数，，，.由得驻点（），根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（）为的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2时，才能使用料最省.小结求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.学习方法建议1．本章重点为二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导公式，曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值

5、的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.2．多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的.3.多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式.因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则——通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，链式规则中的每个公式里就有几项.同时，读者还应做较多的练习，才能熟

6、练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性.4．求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力.