二元函数的极值问题

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1、万方数据第7卷第2期2007年4月鸡西大学学报JOURNALOFJIXIUNIVERSITYV01．7No．2Apr．2007文章编号：1672—6758(2007)02—0075—2二元函数的极值问题万淑香摘要：文章详细论述了关于二元函数的极值问题，实例分析了二元函数极值是否存在的原因；二元函数极值存在的必要条件和充分条件；通过实例解析了求二元函数极值的步骤。关键词：二元函数；极值；必要条件；充分条件；求极值的步骤中图分类号：0174。1文献标识码：A在高等数学中，导数的典型应用是求一元函数的极值问题。那么对于二元函数

2、来说，我们可以利用偏导数求极值。1二元函数极值的定义：设函数Z=f(x，Y)在点(Xo。Yo)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(xo，y0)的点(x，y)，如果都有f(x，y)

3、。因为点(0，0)的任一邻域内异于(0，0)的点的函数值都为正，而在点(0，0)处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点(0，0，0)是开口朝上的椭圆抛物面Z=3x2+4v2的顶点。2．2例2二元函数z=一v／x2+Y2在点(0，o)处存在极大值。因为点(0，0)是位于xoy面下方的锥面z=一／x2+y2的顶点，所以二元函数Z=一以2十y2在点(0，0)处存在极大值。2．3例3二元函数Z=xy在点(0，0)处不存在极值。因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值

4、为负的点，所以函数z=xy在点(0，0)处既不存在极大值也不存在极小值。3极值存在的必要条件设二元函数Z=f(x，y)在点(xo，Yo)处有极值，且两个一阶偏导数存在，则在该点的偏导数必为零，即f，，(x0，y。)=0且‘f’y(xo，Yo)：0。凡是能使f’，(x0，Yo)=0且f’，(xo，Yo)=0的点(Xo，yo)称为二元函数f(x，Y)的驻点。极值存在的必要条件说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则二元函数的极值点一定是驻点。但是二元函数的驻点不一定是极值点。例如，点(o，o)是函数Z=xy的驻点，网为皇lx；

5、o：0且妻

6、x：o：o，但是函数z=xy在点(o，o--)不'存"在Ox极I,,值-0。4。极值存在的充分条件设函数Z=f(x，y)在点()【0，Yo)的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数，又以(x0，yo)=O且f『y(]【o，Yo)=0，记二阶偏导数为f”xx(xo，yo)=A，f”xY(xo，Y。)=B，f”。，(X。，yo)=C，△=B2一AC，则函数Z=f(x，Y)在点(xo，Yo)处是否取得极值的条件如下：(1)当A<0且A<0时，函数Z=f(X，Y)在点(X。，Yo)处取得极大值；(2)当△<0且A>0时，函

7、数Z=f(X，Y)在点(xo，Yo)处取得极小值；(3)当A>0时，函数Z=f(x，Y)在点(xo，y0)处不取得极值；(4)当△=0时，函数Z=f(x，Y)在点(xo，Yo)处可能取得极值，也可能不取得极值。5求二元函数的极值的步骤(1)首先求偏导数f’。x，Y)=0，f'yx，Y)=0，f"xxx，Y)，f”xYx，Y)，f“YY(x，y)；(2)然后解方程组rf’；x，Y)=0，求出驻点；lf7，x，Y)=0，(3)求出二元函数在驻点处A=f“xx(xo，Yo)、B=f“。。(xo'Yo)、C=f『，vv(Xo，y

8、o)的值及△=B2一AC的符号，根据此判定出极值点；(4)求出二元函数的极大值或者极小值。6实例分析例6．1求二元函数f(x，Y)=x3—4x2+2xy—y2+1的极值。解：(1)首先求二元函数的偏导数：f7；x，Y)=3x2—8x十2y，f’yx，Y)=2x+2y，f”xxx，Y)=6x一8，f”xYx，Y)=2，f”YYx，Y)=2。作者简介：万淑香，副教授，鸡西大学，黑龙江·鸡西。邮政编码：158100·75·万方数据第2期鸡西大学学报2007血(2)然后解方程组：』f'x(x，y)=3x2—8x+2y=0，【f’

9、，(x，Y)=2x一2y=0，得到驻点(0，0)和(2，2)。(3)列表进行判断：表1驻点(X0，Yo)ABCA=B：一AC的符号(0，0)一82—2(2，2)42—2+(4)求二元函数的极值：综合以上得出结论是二元函数在点(0，0)处取得极大值，在点(2，2)处不存在极值，即二元函数的极大值f(0，0)=1。例6．