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1、二元函数的极值问题摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值14二元函数的极值问题AbstractTheextremumoffunctionoftwovaria
2、blesisexpoundedinthisthesis.Notonlyaresomerelevantideasanddefinitionsarepresentedinthisthesis,butalsotherelativeprooftothem.Furthermore,itexhibitsseveraltheoreticalproblemsoftheextremumoffunctionoftwovariablesaswell.Particularly,itexpandsthediscriminantoft
3、heextremumandgenerallyimprovesLagrangianMultiplierthatistofindaminimumoramaximumofafunction.Ononehand,basedontheteachingmaterialofAdvancedMathematics,thethesisreviewsthedefinitionsinthetextbookthroughouttheprocedureofspecification.Ontheotherhand,itsublimat
4、esthesedefinitionssothatwecansolvethepracticalissuesbetterandusethemmorewidely.Keywords：functionoftwovariables；maximunvalue;minimumvalue14二元函数的极值问题目录摘要IAbstractII目录III1引言12二元函数极值问题的相关概念12.1二元函数定义12.2二元函数及其极大极小值的定义23二元函数的极值问题23.1二元函数极值存在的必要条件23.2二元函数极值存在的充分
5、条件33.3求二元函数极值的步骤54特殊情况下二元函数极值65条件极值问题85.1代入法95.2拉格朗日(Lagrange)乘数法96总结13参考文献1414二元函数的极值问题1引言函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义1设平面点集包
6、含于,若按照某对应法则,中每一点都有唯一确定的实数与之对应,则称为在上的二元函数.记作（1）且称为的定义域；对应的为在点的函数值,记作或；全体函数值的集合称为的值域,记作.通常还把的坐标与称为自变量，而把称为因变量.当把和它所有的函数值一起组成三维数据组时，三维欧氏空间中的点集便是二元函数的图像.通常的图象是一空间曲面，的定义域便是该曲面在平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作,,或，,且当它的定义域不会被误解的情况下，也简单的说“函数”或“函数”.14二元函数的极值问题2.2二元
7、函数及其极大极小值的定义定义2设函数在点的某领域内有定义，若对于任何点,成立不等式(或)，则称函数是在点取得极小值（或极大值），点称为的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设，，.由定义直接知道，坐标原点是的极小值点，是的极大值点，但不是的极值点.这是因为对于任何点,恒有；对任意，恒有;而对于函数，在原点的任意小邻域内，既含有使的第一、三象限中的点，又含有使的第二、四象限中的点，所以既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若
8、在点取得极值，刚当固定时，一元函数必定在取得相同的极值.同理，一元函数必定在也取得相同的极值.那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理1若函数在点处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有.证明因为点是函数的极值点，若固定中的变量，则是一个一元函数且在处取得极值，由一元函数极值的必要条件知，同理有
