例谈化归与转化的数学思想方法的应用

《例谈化归与转化的数学思想方法的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、例谈化归与转化的数学思想方法的应用所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。它是数学思维方法中的一个重要组成部分。1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。波利亚认为解决学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻

2、找解决问题的途径。弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。例1.已知+nf=■，求f的解析式。简解：若设辅助函数u=3x-2,则x=b，就可以将已知的等式转化为mf+nf=u...再将式中的u代换为-u，得mf+nf=-u...由联立的关于f和f的二元一次方程组，容易解出f=.=■故f=Bo注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。例2.若关于x的方程x2-m

3、x+2=0在区间［1，2］上有解，求实数m的取值范围。简解：分离参数m，m=x+«xG［1,2］,因为y=x+■在［1，■］单调递减，在［■，2］上单调递增，所以xe［i3］。注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。例3.求函数y=ln的值域。简解：设t=x2-2x+3，则y=lnt，因为t=2+2，所以，t22,又y=lnt在［2,+Q0）上令蔚鞯魏觯分所以函数单位值域是［ln2,+00）。注：通过换元法把问题转化成两个基本初等函数的单调性和值域问题。例4.比较0.70.5和0.70.6的大小。简解：因为y=0.7x在R上是减函数，又0.50.70.6注：构造指数函数

4、，把两个静态的数转化为动态函数的两个值，用函数的单调性来比较大小。例5.己知函数f=x2-l+x2+kx。若k=2，求函数f的零点；若关于x的方程f=0在上有2个不同的解xl，x2求k的取值范围，并证明b+b12x+1，-1

5、1<<-1且-n2x2古夂■♦■-2x2<4。注：函数的零点问题转化成解方程的问题。本问是已知方程的实根分布求参数的范围，法一：转化为函数的零点问题，数形结合列出不等式组求解，不等式用函数的单调性证明；法二简洁，归功于转化方向，即分离参数，通过新函数的图象性质来解决。化归思想方法是数学的一种重要思想方法，在运用化归思想方法解决问题并非一成不变的模式，它具有灵活性和多样性的特点，需要结合问题本身的已知充分发散思维，去探求能够有效解决问题的途径和方法，所以学习并能熟练运用划归思想，有意识地对问题进行数学变换，从而灵活地去解决相关问题，有助于学生提高对待变化问题的应变能力，从

6、而提高解决问题的能力，最终达到提高数学能力的目的。