发现之旅：由正方形“衍生”出正方形

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1、发现之旅：由正方形“衍生”出正方形　　【关键词】正方形；探究；性质；判定　　在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情况，作为正多边形家族的正方形（正四边形）是否也具有类似的性质呢？　　一、命题引入　　图2命题1已知，如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在它的四条边上（不含端点），且BE=CF=DG=AH.所得四边形EFGH为正方形.　　命题2已知，如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在它的四条边上（不含端点、中点），且BE=CF=DG=AH，DE分别交CH，AF于点M，N，BG分别交CH，AF于点Q，P.

2、所得四边形MNPQ为正方形.　　命题1由文[2]给出类似的证明，命题2由文[3]给出类似的证明，在此不在赘述.那么，除此之外，还有其他类似的情景吗？　　二、命题探究　　图3探究命题1已知，如图3，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延长线上，且BE=CF=DG=AH.结论：四边形EFGH为正方形.　　证明∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°，　　∴∠HBE=∠ECF=90°，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG，　　在Rt△HBE和Rt△ECF中：BH=CE，∠HBE=

3、∠ECF=90°，BE=CF.∴Rt△HBE≌Rt△ECF（SAS），∴HE=EF，∠BHE=∠CEF，4　　∵∠BHE+∠BEH=90°，∴∠CEF+∠BEH=∠FEH=90°，　　同理可得：EF=FG，FG=GH，∴HE=EF=FG=GH，　　∴四边形EFGH为菱形，又∵∠FEH=90°，　　∴菱形EFGH为正方形，∴四边形EFGH为正方形.　　图4探究命题2已知，如图4，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延长线上，且BE=CF=DG=AH.延长EB交GH于点M，延长FC交HE于点N，延长GD交EF于点P，延长

4、HA交FG于点Q.结论：四边形MNPQ为正方形.　　证明：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠CDA=90°，　　∴∠ECN=∠FDP=90°，∠NCM=∠PDN，∵AH=BE=CF=DG，∴BH=CE=DF=AG，　　由探究命题1得：Rt△HBE≌Rt△ECF，∴∠CEN=∠DFP.　　在Rt△ECN和Rt△FDP中：∠ECN=∠FDP=90°，CE=DF，∠CEN=∠DFP.　　∴Rt△ECN≌Rt△FDP（ASA），∴CN=DP，EN=FP，　　同理可得：CN=DP=AQ=BM，EN=FP=GQ=HM，∴CM=DN=

5、AP=BQ，　　在△NCM和△PDN中：CM=DN，∠NCM=∠PDN，CN=DP.　　∴△NCM≌△PDN（SAS），∴MN=NP，∠CMN=∠DNP，∴∠MNP=90°，　　同理可得：NP=PQ，PQ=QM，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形MNPQ为菱形，　　又∵∠MNP=90°，∴菱形MNPQ为正方形，∴四边形MNPQ为正方形.　　图5探究命题34已知，如图5，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的BC，CD，DA，AB的延长线上，且BE=CF=DG=AH，HC，DE交于点M，ED，AF交于点N，FA，BG交于点P，GB，CH交于点Q

6、.　　结论：四边形MNPQ为正方形.　　证明∵正方形ABCD，∴BC=CD=AD=AB，　　∠ABC=∠BCD=90°，∴∠HBC=∠ECD=90°，　　∵BE=CF=DG=AH，∴CE=DF=AG=BH，　　在△HBC和△ECD中：BH=CE，∠HBC=∠ECD，BC=CD.　　∴△HBC≌△ECD（SAS），∴∠CDE=∠BCH，∠H=∠E，CH=DE，　　∵∠BCH=∠ECM，∠H=∠E，∴∠CME=∠HBC=90°，　　∴∠QMN=90°，同理可得∠MNP=90°，∠NPQ=90°，　　∴四边形MNPQ为矩形，∠HBQ=∠ECM，　　

7、在△HBQ和△ECM中：∠HBQ=∠ECM，BH=CE，∠H=∠E.　　∴△HBQ≌△ECM（ASA），∴BQ=CM，HQ=EM，　　∵CH=DE，HQ=EM，　　∴CQ=DM，同理可得：BQ=CM=DN，∴QC+CM=MD+DN，∴QM=MN，　　∴矩形MNPQ为正方形，∴四边形MNPQ为正方形.　　三、结束语　　如图6、图7、图8、图9所示，类似的情况还很多，不胜枚举，有兴趣的读者可以继续探究.本文有许多不足之处，在此仅是抛砖引玉，敬请批评指正.　　【参考文献】　　[1]杨川.发现之旅：由正三角形“衍生”出正三角形[J].考试与评价，20

8、16（8）.4　　[2]郭道虎.由一道教材习题的引申再谈《请帮我解惑》[J].中小学数学（初中版），2012（7）.　　[3]周余孝.由正方形到正多边形[J].中学